EDAD CONTEMPORÁNEA - GEOMETRÍA INTRÍNSECA

GEOMETRÍA EN LA EDAD CONTEMPORÁNEA.

GAUSS

Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del análisis matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento del análisis complejo y de la geometría diferencial.

Pero no son las únicas contribuciones de éste genio al campo de la Geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filología o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación.

En su primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra (de las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del análisis de variable compleja, usando la interpretación geométrica de los números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho más tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya, pues el análisis complejo está desarrollada fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretación geométrica que marcará el desarrollo de esta rama.

Pero la principal contribución de Gauss a la geometría es la creación de la geometría diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el análisis matemático y la geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente.

Partiendo de la base de que la geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.

Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclídea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.

Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría no euclídea, y por otro fue el creador de la geometría diferencial y precursor de la variable compleja.

Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la geometría: la orientación.

LA CONTROVERSIA SOBRE EL V POSTULADO

Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado.

¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:

1. El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.
2. Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido.

Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias. Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando métodos analíticos o sintéticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sintética como analítica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad.

LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO Y LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos problemas. Galois muere a los 21 años de edad dejando un "testamento" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en (su corta) vida. Concluyó que una ecuación de grado 5 o mayor no puede ser resoluble por radicales (es decir, mediante una fórmula con un número finito de operaciones algebraicas). Su manera de abordar el problema abre una nueva vía dentro de la Matemática.

Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación) no da sólo esos frutos. También demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

En 1862, Lindemann demuestra que el número π es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un número que pueda construirse con regla y compás, y demuestra que no es posible construir con sólo estos instrumentos un cuadrado de área igual a la de un círculo dado.

GEOMETRÍA INTRÍNSECA.

Resulta complicado establecer una fecha precisa en la que los geómetras comenzaron a interesarse por cuestiones de geometría intrínseca. La matemática griega planteó los problemas geométricos haciendo referencia a las propiedades métricas de un conjunto de puntos definidos y localizados en el plano y en el espacio. La perspectiva era, por tanto, extrínseca.

Tradicionalmente, se le atribuye a Euler el descubrimiento en 1752 de una propiedad de los poliedros convexos. Llamando S, A y F al número de vértices, aristas y caras, Euler demostró la relación de igualdad S-A+F=2, conocida hoy como característica de Euler. El resultado era sorprendente porque no hacía intervenir ni la longitud ni el área.

En 1813 Simon Antoine Jean L'Huillier se dio cuenta de que la fórmula de Euler se modificaba para un poliedro no convexo, con la forma, por ejemplo, de un sólido con agujeros (como el toro: S-A+F=2-2g, siendo g el número de agujeros).Éste es el primer cálculo de un invariante topológico que permitó clasificar las superficies del espacio. No obstante, la perspectiva continuaba siendo extrínseca, pues los agujeros se ven desde el exterior. ¿Cómo, por ejemplo, una hormiga que anduviese por una habitación sin techo podría representarse el agujero?

Carl Friedrich Gauss, interesado por la geometría de las superficies, estableció un resultado sin precedentes: el teorema egregium : "la curvatura de Gauss de una superficie del espacio no depende del modo en el que ésta se inserta en el espacio ambiente.^[4] "

La fórmula de Gauss-Bonnet, presentida por Gauss y demostrada por Pierre-Ossian Bonnet en 1848, expresará la característica de Euler en términos de curvatura, evidenciando la imbricación entre las consideraciones geométricas y topológicas.

Nuevos espacios con extrañas propiedades

La geometría no euclidiana nace de la imposibilidad de demostrar el quinto postulado de Euclides. El primer intento de demostrarlo por reducción al absurdo fue ensayado por Saccheri en 1733.^[5] Gauss fue el primero en comprender la posibilidad de que existiesen geometrías alternativas a la euclídea.^[6] Estas geometrías serían desarrolladas por Lobatchevsky y Bolyai.

La cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing fue el primer ejemplo de superficie no orientable.

Riemann

El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una conferencia en la Universidad de Gotinga para completar su habilitación (grado que le permitiría optar a una plaza de profesor universitario). El tema de la conferencia fue la Geometría, a elección de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo título fue Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría), pasa por ser una de las más celebradas de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De entre los presentes se dice que sólo Gauss fue capaz de comprender su contenido, y hay que decir que le entusiasmó.

Bernhard Riemann.

Variedades riemannianas y el tensor curvatura

En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qué problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombre variedad hace referencia a las varias coordenadas que variarían para ir obteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades de dimensión 2, mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, y aun los puntos las de dimensión 0. De todas formas, esta aproximación al concepto es demasiado imprecisa, pues el punto clave de la definición formal de una variedad diferenciable (definición no expuesta correctamente hasta 1913 por Hermann Weyl) es que esto es cierto localmente, es decir, cada punto de la variedad tiene algún entornohomeomorfo a un abierto del espacio euclídeo , de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con otro de estos homeomorfismo se obtiene una función diferenciable de un abierto de en otro abierto de . Pero como decimos hicieron falta casi 60 años para que la definición terminara de cuajar.

No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de la existencia de espacios de dimensión superior a 3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia en varias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para negar su existencia) o metafísico. Es Cayley quien en 1843 trata explícitamente el tema por primera vez, y volverá a él nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirán Sylvester, Clifford, Grassmann y Schläfli entre otros, aunque hay que decir que la visión de todos ellos es mucho más algebraica que geométrica.

Es probable que el estudio de las superficies de Riemann, objetos a cuyo estudio había dedicado su tesis doctoral, indujeran a Riemann a pensar en este concepto de variedad de dimensión arbitraria.

Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos los puntos (x,f(x)), donde x varía en un intervalo y f es una función real, derivable y definida sobre ese mismo intervalo, obtendremos la curva (dimensión 1) dada por la gráfica de una función.

Si en lugar de ser una función de una variable tenemos una función de dos variables f(x,y), al dibujar todos los puntos (x,y,f(x,y)), donde (x,y) son de una región del plano donde esté definida f, obtenemos una superficie (dimensión 2). Riemann estudia funciones complejas de variable compleja, es decir, funciones cuya gráfica tendría por puntos cosas de la forma (x,y,u(x,y),v(x,y)), siendo tanto u(x,y) como v(x,y) funciones reales (es decir, cada uno representa un número real). Las gráficas de este tipo de funciones tendrían dimensión 3 y estarían en un espacio de 4 dimensiones, y gozarían de propiedades muy parecidas a las de las superficies.

Una variedad riemanniana no es sólo un objeto geométrico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la que además hay que dotar de una métrica. Una métrica es un campo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos: en cada punto de una variedad diferencial se puede calcular el espacio tangente a la variedad en ese punto, al igual que en una superficie (suave), en cada punto podemos calcular el plano tangente en ese punto a la superficie, y en una curva (suave) podemos calcular en cada punto la recta tangente a la curva en dicho punto.

Ese espacio tangente tendrá la misma dimensión que la variedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -la recta tangente- tiene dimensión 1, en el de superficies tiene dimensión 2). Una métrica (o estructura riemanniana) sobre una variedad es una aplicación que a cada punto de la variedad le asigna un producto escalar en el espacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplicación es diferenciable. Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite calcular longitudes de segmentos y ángulos entre rectas. A través de una métrica, se pueden definir sobre una variedad conceptos como longitud de una curvaángulo entre dos curvas, generalizar a variedades el concepto de geodésica, ya utilizado por Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto es una explicación de cómo es una geodésica, no es una definición) una curva dibujada sobre una superficie (o en nuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entre dos de sus puntos minimice la distancia medida sobre la superficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo y marcamos dos puntos sobre él, la distancia más corta se calculará, como sabemos, por la medida del segmento de recta que atraviesa el globo por ambos puntos. Sin embargo, si lo que pretendemos es buscar el camino más corto para llegar de un punto a otro sin salirnos de la superficie del globo, tendremos que dibujar sobre él una curva que una los puntos y se combe por la propia "curvatura" del globo. Esa curva sería un segmento de geodésica en la superficie del globo. o el

El punto culminante de la primera parte de la conferencia llegó cuando Riemann, utilizando las geodésicas, define el tensor curvatura seccional, que es la generalización a variedades del concepto de curvatura estudiado por Gauss. Este instrumento permite "medir la curvatura" de una variedad.

[editar] El modelo del Universo

En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos, cuál es su dimensión, cuál es su geometría.

Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.

El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una métrica se está determinando la geometría que gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introduciendo la métrica euclídea es cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esa métrica se introduce en el plano otra métrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. La propiedad de las geodésicas de minimizar la longitud entre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerda mucho a la definición de las rectas como aquellas líneas que determinan la menor distancia entre dos puntos. Se considera que las geodésicas son a las variedades riemannianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, las geodésicas son como las rectas de las variedades.

Esta nueva visión permite estudiar todas las nuevas geometrías no euclídeas, así como la geometría euclidiana bajo la misma óptica de la nueva Geometría Riemanniana.

Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometría pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente el estudio de triángulos, circunferencias, polígonos, etc.

Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el número de dimensiones del espacio (el Álgebra y el Análisis están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente se podrá estudiar Geometría más allá de su visualización gráfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.

Klein

Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometría de una superficie proyectiva con una sección cónica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometría euclidiana y las no euclidianas podían considerarse como casos particulares de la geometría proyectiva (o mejor dicho, de la geometría de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometría euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a contradicciones) si y sólo si lo son las geometrías no euclidianas.

Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto coleará aun unos años ante el escepticismo de ciertos elementos que considerarán erróneo el argumento de Klein.

Pero la aportación más importante de Klein a la Geometría es su famoso Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de Geometría.

El Programa de Erlangen

Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto no llegó a leer en público) que puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a los Elementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de la Geometría.

La idea de la memoria, conocida como el Programa de Erlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.

Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas, parece lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.

¿Qué es entonces la Geometría?

Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es un conjunto G en el que hay definida una operación, es decir, una aplicación que a cada par de elementos del conjunto le asigna otro elemento del conjunto (que será el resultado de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayoría de la gente está familiarizada con las operaciones numéricas, les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc. Puede hacerse, y no hay más que pensar en, por ejemplo, la operación "tomar el punto medio", que a cada par de puntos le asigna el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos.

Para que un conjunto en el que haya una operación sea un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son:

• La operación debe ser asociativa: esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementos a,b,c del conjunto, el resultado de operar los dos primeros (a y b) y operar el resultado de ello con el tercero (c) debe de ser lo mismo que si primero operamos el segundo y el tercero (b y c) y el resultado lo operamos con el primero (a). Es decir, si la operación la denotamos por ha de ocurrir que debe de ser lo mismo que .

• Debe existir un elemento neutro: esto quiere decir que ha de haber un elemento e del conjunto de manera que si tomo cualquier otro elemento aa, es decir, es como si al elemento a no lo hubiera operado. Así, con nuestra notación, y . del conjunto y lo opero con él, entonces el resultado vuelve a ser el elemento

• Por último, cada elemento debe tener un elemento simétrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera a del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento del conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro: .

El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una geometría como dar el subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo que uno admitirá como grupo principal. Los conceptos o definiciones serán los invariantes por ese grupo principal, y los teoremas serán las relaciones entre los conceptos.

Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras.

De hecho, Klein afirma que la comprensión de "tener una geometría, entonces hay un grupo principal" es más bien al revés. Uno a priori dice qué tipo de transformaciones admitirá (es decir, da el grupo) y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo isomorfo a algún grupo clásico (simetrías, translaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometría son válidos en este.

El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre el método sintético y el algebraico-analítico. En su época supuso la consagración de la Geometría Proyectiva como la Reina de las Geometrías.