tag:blogger.com,1999:blog-25845848570270440722023-11-16T20:08:25.167+01:00MatemáticasSalirse por la TangenteUnknownnoreply@blogger.comBlogger180125tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-52019197357341827872011-07-08T19:54:00.001+02:002011-07-08T20:07:03.858+02:00Un Mantel Para una Mesa<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Alberto Castaño Domínguez</span></b>, estudiante de doctorado en la <a href="http://www.matematicas.us.es/index.php"><b>Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla</b></a>, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b>decimoséptimo de los desafíos matemáticos</b></a> con los que <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a> celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/"><b>centenario de la Real Sociedad Matemática Española</b></a>. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 12 de julio a la dirección <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">problemamatematicas@gmail.com</span></b>.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos incluimos el enunciado del problema por escrito.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Esta semana partimos del supuesto de que tenemos una mesa de 90 cm de ancho por 1,5 m de largo y queremos cubrirla con un rollo de papel que hemos comprado. El rollo tiene exactamente 20 cm de ancho, sólo podemos hacer cortes transversales y su área es idéntica a la de la mesa, por lo que no podremos desperdiciar ningún trozo ni superponerlo a otro. Además, al poner los trozos de mantel, solo se podrá hacer en horizontal o en vertical, nunca en diagonal. El desafío es encontrar una manera de cubrir la mesa o, si no se puede hacer, demostrar por qué.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Nota importante:</b> Han llegado ya varias soluciones erróneas porque no tienen en cuenta que el papel hay que cortarlo transversalmente, no longitudinalmente o de forma diagonal. Es decir, las tiras de papel deben mantener el ancho de 20 centímetros.</span></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/mesa/mantel/elpepusoc/20110707elpepusoc_1/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b><br />
</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PISTA: </b>No tiene solución</span></div>Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-88788880450741624142011-07-08T19:48:00.000+02:002011-07-08T19:48:42.730+02:00Una Molécula de Siete Átomos<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Carmen Cascante Canut</span></b>, decana de la <a href="http://www.mat.ub.edu/"><b>Facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona</b></a>, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b>décimosexto de los desafíos matemáticos</b></a> con los que <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a> celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/"><b>centenario de la Real Sociedad Matemática Española</b></a>. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 5 de julio a la dirección <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">problemamatematicas@gmail.com</span></b>.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A continuación, para aclarar dudas y atención a nuestros lectores sordos incluimos el enunciado del problema por escrito.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Como este año ha sido declarado Año internacional de la Química, el problema que os presentamos esta semana está relacionado con esta ciencia: Supongamos que queremos construir una molécula plana formada por siete átomos de manera que en toda posible elección de tres átomos de esta molécula se cumpla que al menos dos de ellos estén a un ångström de distancia.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Os pedimos que deis las coordenadas de la posición en el plano que ocuparán los siete átomos de una molécula plana cumpliendo la propiedad anterior, situando uno de los átomos en el origen de coordenadas e indicando las coordenadas de la posición en el plano de los otros seis átomos.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Nota Importante:</b> Considerar que la unidad que representaremos en los ejes de coordenadas es el ångström. Si alguna de las coordenadas de los puntos es, por ejemplo: (raíz cuadrada de 3, 1/3), no deis un valor aproximado a los valores obtenidos. Dejad indicada la expresión exacta que encontréis.</span></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/molecula/atomos/elpepudep/20110701elpepusoc_2/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Esta semana no he participado. Cerrado por vacaciones, así que publicó una semana después del desafío.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>SOLUCIÓN "EL PAÍS"</b>: "<a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/estrella/ojos/elpepudep/20110705elpepusoc_5/Tes"><b>Una estrella con dos ojos</b></a>"</span></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/pentagono/puntos/elpepudep/20110705elpepusoc_1/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-63490683938037736232011-07-08T19:30:00.000+02:002011-07-08T19:30:48.798+02:00Una Cuestión de Unos y Ceros<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Jesús Gago</span></b>, profesor titular del <a href="http://www-en.us.es/da/"><b>Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla</b></a>, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">decimoquinto de los desafíos matemáticos</span></b></a> con los que <a href="http://www.elpais.com/"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">EL PAÍS</span></b></a> celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</span></a>. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 28 de junio (medianoche del lunes) a la dirección <span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><b>problemamatematicas@gmail.com</b></span>.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">El problema de esta semana parte de la observación de que todos los números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. (Por ejemplo: 1x10=10; 2x5=10; 3x37=111; 4X25=100; 5X2=10; 6X185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111... y así para cualquier número natural). La pregunta de la semana es: ¿por qué sucede esto?</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/sOwsVFxwX2g?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="color: #274e13;">PISTA: </b><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">Teorema de Fermat</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;"><br />
</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">Finalmente no publico mi solución, porque desgraciadamente estaba mal. Sólo tuve unas horas para ver el problema (vacaciones) y no lo enfoque bien, ya que sólo lo demostré para números primos.</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;"><br />
</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">REFLEXIÓN</span></b><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">:Creo que no será la única que tenga mal, o que no participe, ya que se acerca el verano y los viajes y no tendré mucho tiempo para estos menesteres. Como reflexión se ha observado un gran descenso en la participación en los retos, quizás sea debido a las fechas, pero quizás a algo que ya apunte en algún otro foro hace tiempo, la opacidad de "El País" y el sentimiento de estar hablando con una pared. Todas las semanas se mandan las soluciones del reto, pero ni siquiera se puede asegurar que se reciban. No hay ni un misero bot que envíe un e-mail con mensajes tipo: "</span><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">se ha recibido su respuesta, gracias por participar</span><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">", o mejor aún "</span><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">su respuesta ha sido una de las seleccionadas para entrar en el sorteo, suerte</span><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">". Como estos mensajes no existen, es como mandarle un mensaje a un amigo que nunca contesta: ¿habrá leído mis e-mails?, ¿Tendré la dirección correcta?...En fin veremos si no suspenden los desafíos por falta de participación.</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;"><br />
</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS"</span></b><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">: "</span><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/ceros/palomas/elpepusoc/20110628elpepusoc_13/Tes"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Unos, ceros... y palomas</span></a><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">"</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;"><br />
</span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/O7OHwZmxx9w?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;"><br />
</span></span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-35577233041600926652011-07-08T19:12:00.003+02:002011-07-08T19:30:31.154+02:00Partículas en Colisión<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Antonio Aranda Plata</span></b>, profesor asistente honorario del <a href="http://www-en.us.es/da/"><b>Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla</b></a>, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b>decimocuarto de los desafíos matemáticos</b></a> con los que <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a> celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/"><b>centenario de la Real Sociedad Matemática Española</b></a>. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 21 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">En un recinto cerrado tenemos un conjunto de partículas en tres estados diferentes: positivo, negativo y neutro. Inicialmente hay 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras. En un momento dado, las partículas comienzan a moverse y a chocar entre ellas. Así, cuando dos partículas de diferente estado chocan, ambas cambian al estado restante. Es decir, si chocan una partícula positiva y otra negativa, tras el choque se convierten en dos neutras. De la misma manera, si chocan una negativa y una neutra se convierten en dos positivas; y si chocan una neutra y una positiva se convierten en dos negativas. Esto significa que cada vez que chocan dos partículas de diferente signo, hay una partícula menos de cada uno de sus estados mientras que al estado restante se incorporan dos unidades. Cuando colisionan dos de igual signo, no varían su estado.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado. Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo. En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/evZzmZl-XZk?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="color: #274e13;">PISTA: </b><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">Múltiplos de 3</span></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444; font-family: Verdana, sans-serif;">Mi solución:</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #444444; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; line-height: 15px;"></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Llamando <b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">x</b> a las partículas positivas, <b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">y</b> a las negativas y <b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">z</b> a las neutras, tenemos las siguientes colisiones:</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">y + z => 2x ---> 2x - y - z</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">x + z => 2y ---> 2y - x - z</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">y + x => 2z ---> 2x - y - x</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Para que sólo tengamos un tipo de partículas, los otros dos tipos deben tener en un momento determinado "t" la misma cantidad de partículas para anularse entre sí.</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Tememos pues, tres posibles casos:</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caso 1)</b> Después de un tiempo "t" el número de partículas positivas y negativas son iguales:</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">entonces:</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">30 - (2x - y - z) = 10 - (2y - x - z)</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Siendo </span><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">(2x - y - z) el número de partículas positivas que habrá después de un tiempo "t" y </span><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">(2y - x - z)</span><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"> el número de partículas negativas.</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Reordenando y sacando factor común:</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">20 = 3 (x -y)</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">x</b> e <b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">y</b> son número enteros, pero 20 no es divisible por 3, luego no es posible que las partículas positivas y negativas lleguen a ser iguales.</span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caso 2)</b> Después de un tiempo "t" el número de partículas positivas y neutras son iguales: (procediendo de manera análoga a la anterior)</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">30 - (2x - y - z) = 17 (2z - x - y)</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">13 = 3 (x - z)</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">x</b> y <b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">z</b> son números enteros, sin embargo 13 no es divisible por 3, por lo que tampoco se producirá esta situación.</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caso 3)</b> Después de un tiempo "t" el número de partículas negativas y neutras son iguales: (procediendo de manera análoga al caso 1)</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">17 (2z - x - y) = </span><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">10 - (2y - x - z)</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">7 = 3 (z - y)</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">De nuevo 7 no es divisible por 3.</span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;" /></span></span></div><div style="line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Conclusión: </b>Al chocar dos partículas todas las partículas sufren modificaciones en cuanto a su cantidad, sólo existen tres tipos de modificaciones posibles de las cantidades [x,y,z], que son [-1,-1,2]; [-1,2,-1]; y [2,-1,-1]. Partiendo de [20,10,17], se ha demostrado que es imposible llegar a tener un sólo estado.</span></span></span></div><div><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></b></span></div><div><div style="text-align: left;"><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS": "</span><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/habra/unica/clase/particulas/elpepusoc/20110621elpepusoc_9/Tes"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Nunca habrá una única clase de partículas</span></a><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">"</span></span></b></span></div></div><div><span class="yiv495212106Apple-style-span" style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;"><br />
</span></span></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/WvIITtL74s0?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-35811322437822949112011-06-13T22:08:00.003+02:002011-07-08T18:58:12.349+02:00Una Camiseta Bordada en Zigzag<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dos estudiantes de <a href="http://www.estalmat.org/"><b>Estalmat-Catalunya</b></a> <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Andrea Isern Granados</span></b>, alumna de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">3º de ESO</span></b> en el <a href="http://www.xtec.cat/ies-espriu/"><b>Instituto Salvador Espriu</b></a> de Barcelona, y <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Silvia Martos Baeza</span></b>, alumna de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">3º de ESO</span></b> en el <a href="http://www.institutcubelles.cat/"><b>Instituto Cubelles</b></a>, de Cubelles (Garraf, Barcelona) presentan el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b>decimotercero</b></a> de los desafíos matemáticos con los que <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a> celebra el centenario de la <a href="http://www.rsme.es/centenario/"><b>Real Sociedad Matemática Española</b></a>. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 14 de junio (medianoche del lunes) a la dirección <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">problemamatematicas@gmail.com</span></b>.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A continuación, para aclarar posibles dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado por escrito.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/hwL00QTQlMI?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="color: #274e13;">PISTA: </b>Yo he usado Semejanza de triángulos, triángulos isósceles y ángulos complementarios y suplementarios.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mi solución de esta semana:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?. El ángulo debe ser: </span><span class="Apple-style-span" style="color: red;">4,5º</span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Explicación:</span></b> Tenemos con la <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">puntada 20</span></b>, perpendicular a la horizontal, un triángulo rectángulo (principal) con dos ángulos complementarios<b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"> α</span></b> y <span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><b>β</b></span>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Donde <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">α+β=90º</span></b>. Los dos catetos son la horizontal y la <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">puntada 20</span></b>, y el tercer lado será la hipotenusa.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Al realizar la <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">segunda puntada</span></b> (la primera es en la horizontal), tendremos un triángulo isósceles formado por las dos puntadas de longitud <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">L</span></b>, y cuyos ángulos serán <span class="Apple-style-span" style="color: purple;"><b>α, α y 2β</b></span>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Al bordar la <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">tercera puntada</span></b> obtenemos un segundo triángulo isósceles, donde los dos lados iguales son las <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">puntadas 2 y 3</span></b>. Este triángulo tendrá los ángulos <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">γ, γ y δ</span></b>. (como se ve en el dibujo). Pero sabemos que <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">α+β=90º</span></b>, luego <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">2α+2β=180º</span></b>, y <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">γ=180–2β=2α</span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Al bordar la cuarta puntada obtenemos un tercer triángulo isósceles, donde los lados iguales de longitud <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">L</span></b>, y ángulos (siguiendo el mismo procedimiento que en apartado anterior y por semejanza de triángulos) <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">3α, 3α y ε</span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por el mismo procedimiento podemos construir <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">19 triángulos isósceles</span></b> con las <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">20 puntadas</span></b>. En cada nuevo triángulo isósceles se incrementa el ángulo igual en α grados, luego para el triángulo 19, los ángulos iguales valdrán <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">19α</span></b>. Pero en este último triángulo sabíamos por el dato del principio que esos dos lados iguales valían β grados (recordar el triángulo principal), Luego:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">β=19α</span></b>, como <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">α+β=90º</span></b>; tenemos que <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">20α=90º</span></b>, por lo que despejando obtenemos que <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">α=4,5º</span></b> y <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">β=85,5º</span></b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://img204.imageshack.us/img204/5907/tringulo2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="147" src="http://img204.imageshack.us/img204/5907/tringulo2.jpg" width="640" /></a></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aplicamos trigonometría básica <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">tgα=L/25</span></b>. <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">tg4,5º=L/25</span></b>. Despejando <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">L=1,9675…cm</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Es imposible, las puntadas pares se pueden hacer perpendiculares a la horizontal (base del triángulo principal), pero las impares sólo pueden hacerse perpendiculares a la hipotenusa del triángulo principal, nunca a la horizontal y 21 es una puntada impar.</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como <b>información adicional</b> destacar que se pueden obtener analíticamente todos los ángulos α, para la puntada que queramos (eso sí si es una puntada par la última puntada será perpendicular a la base (horizontal) y si es impar perpendicular a la hipotenusa del triángulo rectángulo principal.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La fórmula es <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">α=45/(p/2)</span></b>, siendo “p” el número de puntadas, esto es para las 21 primeras puntadas (por dar una solución al apartado 3) pero con la perpendicular a la hipotenusa):</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 2: α=45/(2/2)=45º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 3: α=45/(3/2)=30º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 4: α=45/(4/2)=22,5º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 5: α=45/(5/2)=18º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 6: α=45/(6/2)=15º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 7: α=45/(7/2)=12,8571..º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 8: α=45/(8/2)=11,25º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 9: α=45/(9/2)=10º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 10: α=45/(10/2)=9º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 11: α=45/(11/2)=8,1818…º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 12: α=45/(12/2)=7,5º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 13: α=45/(13/2)=6,923…º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 14: α=45/(14/2)=6,4285…º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 15: α=45/(15/2)=6º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 16: α=45/(16/2)=5,625º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 17: α=45/(17/2)=5,2941…º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 18: α=45/(18/2)=5º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 19: α=45/(19/2)=4,7368…º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 20: α=45/(20/2)=4,5º (perpendicular respecto la horizontal)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puntada 21: α=45/(21/2)=4,2857…º (perpendicular respecto la hipotenusa)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS": "</span><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/camisa/bordada/angulo/45/elpepusoc/20110614elpepusoc_10/Tes"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Una camiseta bordada en ángulo de 4,5º</span></a><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">"</span></b> </span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/HTs3Eod38AI?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-72522656456632484492011-06-05T11:33:00.002+02:002011-06-13T21:52:54.474+02:00Una Exhibición de Coches de Carreras<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Josefa Ramírez Rodríguez</span></b>, licenciada en matemáticas por la <a href="http://www.unex.es/"><b>Universidad de Extremadura</b></a> y Responsable de Sistema de Información en el <a href="http://www.racc.es/"><b>RACC</b></a> presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">duodécimo desafío</span></b></a> de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>. Las respuestas pueden enviarse a <span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;"><b>problemamatematicas@gmail.com</b></span> antes de la medianoche del lunes 6 de junio (00.00 horas del martes). </span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado por escrito.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/MaSpgCiRru0?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PISTA:</b> </span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Yo lo he resuelto por <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1ntica">Ecuaciones Diofánticas</a>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Participan <b>400 coches</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Justificación:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Si tenemos una formación en cuadrado, tendremos $$n^2$$ coches, si despues hacemos con los mismos coches en rectangulo dónde una de filas es $$(n+5)$$, entonces el número de coches es $$(n+5)\cdot{m}$$, siendo m el número de columnas.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Como los coches son los mismos tenemos que:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">$$n^2=(n+5)\cdot{m}$$, </span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Entonces: $$m=\frac{n^2}{n+5}$$</span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
Para qu exista la posibilidad de hallar la formación buscada, m debe ser un número entero. Por lo que la ecuación anterior es una Ecuación Diofántica.<br />
<br />
Hacemos un cambio de variable: llamamos $$t=n+5$$,<br />
<br />
Entonces $$m=\frac{(t-5)^2}{t}=\frac{t^2+25-10t}{t}=t-10+\frac{25}{t}$$<br />
<br />
Como m es un número entero $$\frac{25}{t}$$, debe ser un número entero, esto sólo puede suceder si t toma alguno de los siguientes valores: $$1, 5, 25$$. Probamos estos valores<br />
<br />
Para $$t=1\Longrightarrow{m=16}$$ (no válido porque $$n=t-5$$, y tendríamos un número de filas negativo).<br />
<br />
</span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Para $$t=5\Longrightarrow{m=0}$$</span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"> (no válido porque a la fuerza existen columnas)</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Para $$t=25\Longrightarrow{m=16}$$</span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"> (Solución)</span><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto $$m = 16$$, por lo que $$n = t - 5 = 25 - 5 = 20 filas$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto $$n = 20$$, luego el número de coches sería $$20^2=400=25\cdot{16}$$</span><br />
<br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS"</span></b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">: "<a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cuadrado/coches/lado/elpepusoc/20110608elpepusoc_1/Tes"><b>Un cuadrado de 20 coches en cada lado</b></a>"</span></span><br />
</div></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/cuadrado/400/coches/carreras/elpepusoc/20110607elpepusoc_1/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-85949207606373213412011-05-28T21:21:00.003+02:002011-06-05T11:22:14.588+02:00Pesando Tornillos<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Belén Alcázar, Dana Calderón, Daniel de Maeseneire, Irene Carmona, Javier Quirós, Jimena González y Patricia Novo</span></b>, alumnos de 1º ESO del<b> <a href="http://www.educa.madrid.org/web/ies.alamedadeosuna.madrid/">IES Alameda de Osuna</a></b> (Madrid), presentan el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">undécimo desafío</span></b></a> de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>. Las respuestas pueden enviarse a <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">problemamatematicas@gmail.com</span></b> antes de la medianoche del lunes 30 de mayo (00.00 horas del martes).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/TaQmVukXd8s?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;">SOLUCIÓN:</span></b></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PISTA: </b>Cómo pista, el problema de las <b><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/11/la-bascula-y-las-pesas.html">pesas</a></b></span></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Bueno cada vez publicó las soluciones más tarde ;).</span></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Esta es la solución enviada:</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span></div><div style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; color: black; line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sólo se necesita una pesada, tomamos los siguientes tornillos de cada caja: 0, 1, 2, 4, 7, 13.</span></div></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; color: black; line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Debido a que existen 20 formas de colocar las cajas (por Permutaciones): nos bastará con tener la siguiente tabla para saber dónde están los tornillos de 5 gr.</span></div></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="yiv324554973MsoNormalTable" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 0px; -webkit-border-vertical-spacing: 0px; border-collapse: collapse; color: black; display: table; line-height: 1.2em; margin-left: 2.75pt; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; text-align: center; width: 447px;"><tbody style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"></td><td colspan="6" nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #dbe5f1; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 240.3pt;" valign="bottom" width="320"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Tornillos de cada caja</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">0</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">1</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">2</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">4</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">7</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">13</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Permutaciones</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caja 1</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caja 2</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caja 3</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caja 4</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caja 5</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Caja 6</span></b></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #4bacc6; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><b style="line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;"><span style="color: white; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">Peso gr</span></b></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">1</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">138</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">2</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">140</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">3</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">141</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">4</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">142</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">143</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">144</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">7</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">145</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">8</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">146</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">9</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">147</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">10</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">148</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">11</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">149</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">12</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">150</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">13</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">151</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">14</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">152</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">15</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">153</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">16</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">154</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">17</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">155</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">18</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">156</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">19</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; border-width: initial; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">157</span></div></td></tr>
<tr style="display: table-row; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; vertical-align: inherit;"><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: rgb(75, 172, 198); border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 49.4pt;" valign="bottom" width="66"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">20</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">5</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: initial; border-right-style: none; border-right-width: initial; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 40.05pt;" valign="bottom" width="53"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">6</span></div></td><td nowrap="" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-bottom-color: rgb(75, 172, 198); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: rgb(75, 172, 198); border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: rgb(75, 172, 198); border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; display: table-cell; height: 15pt; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 3.5pt; padding-right: 3.5pt; padding-top: 0cm; width: 45.8pt;" valign="bottom" width="61"><div class="yiv324554973MsoNormal" style="display: block; line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span style="color: black; line-height: 1.2em; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial;">159</span></div></td></tr>
</tbody></table><br />
<div style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; line-height: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><div style="color: black;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Muchas gracias.</span></div></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS"</span></b>: <b><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Basta/sola/pesada/tornillos/elpepusoc/20110531elpepusoc_19/Tes">Basta una sola pesada de tornillos</a></b></span></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/bDAAuMhFbcM?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-12722427415123410152011-05-26T21:10:00.002+02:002011-05-28T21:14:09.274+02:00Como Rellenar con Piezas un Tablero<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Con unos días de retraso, publicó el desafío recién terminado. Entre las elecciones, el trabajo y otras gaitas no he tenido mucho tiempo. De hecho presente mi solución in extremis, pues hasta el lunes no leí el desafío.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">María López Valdés</span></b>, licenciada en Matemáticas y promotora de la empresa Bit&Brain Technologies, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b>décimo desafío</b></a> de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 24 de mayo (00.00 horas del miércoles).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">NOTA IMPORTANTE:</span></b> Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tenemos un tablero cuadrado de 9x9=81 casillas iguales y 20 piezas idénticas de la forma que se muestra en el vídeo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se trata de ir poniendo piezas en el tablero en cualquier posición, como en un puzzle, con el objetivo final de cubrir el MAYOR número de cuadrados posible, o lo que es lo mismo, dejando vacíos el MENOR número de cuadrados posible. Cada cuadrado de la pieza ocupa exactamente un cuadrado del tablero y las piezas no se pueden solapar.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dividimos el problema en dos cuestiones:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Nota: Las piezas son reversibles</span></b></i></span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/yvmrvOld5e0?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-size: large;">SOLUCIÓN:</span></b></i></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Esta semana, como ya he comentado anteriormente, presente mi solución al límite, por lo que al final, aún contestando bien a las dos preguntas formuladas, cometí un error a la hora de añadir información, pues como se muestra en el documento PDF de "El País".</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veamos la solución enviada:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hola, un poco tarde pero aquí mi solución:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Lo vamos a hacer por coloración, pintamos el tablero 9x9 con<b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;"> dos colores</span></b>, uno <span class="Apple-style-span" style="color: purple;"><b>blanco</b></span>, y otro <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">negro</span></b> a modo de tablero de ajedrez (alternancia de escaques blancos y negros). Colocamos una ficha cualquiera en el tablero. Observamos que la ficha siempre cubre 2 escaques negros y dos blancos y en un rectángulo 3x2, siempre hay 1 escaque vacío de color blanco y otro escaque vacío de color negro (como en la figura de abajo):</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img854.imageshack.us/img854/252/tablerouno.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img854.imageshack.us/img854/252/tablerouno.jpg" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Si colocamos una segunda ficha, pegada a la primera (esto es empezando en el 1,2 de la figura o en el 2,0) volveremos a tener libres un escaque blanco y otro negro. Luego por cada ficha que coloco, siempre que cubra un escaque hueco de una ficha anterior, dejo siempre al mismo tiempo otro escaque hueco en el otro extremo de la ficha nueva del mismo color del que he cubierto. La única opción posible sería que con la última ficha cubriéramos todo el tablero, de forma que el hueco de la última ficha se cubriera con el hueco de la primera (por ejemplo); no obstante, esto sabemos que es imposible, pues el tablero es 9x9 = 81 escaques, que no es un número par, ni múltiplo de 4 (necesario por ocupar la ficha cuatro escaques). </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En resumen no es posible dejar sólo un escaque hueco, porque siempre hay al menos dos escaques huecos uno de color negro y otro de color blanco.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El número menor de escaques (cuadrados) que pueden dejarse vacíos es <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">17</span></b>. </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">De forma general, si tenemos un cuadrado nxn, con n par, el número de escaques que pueden dejarse vacíos es n. Para dibujar dicho caso, basta con rellenar nx(n-1) cuadrados del color que deseemos, y cada columna para (por ejemplo) subir todos los escaques de color un escaque hacia arriba. Quedarán n/2 escaques vacíos abajo (las columnas que hemos subido un escaque) y n/2 escaques arriba (las que no hemos subido que llegaban a n-1, pero no a n).</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En el caso de un tablero pxp, con p impar, el número de escaques huecos que pueden dejarse vacíos es 2n-1. Que corresponden en realidad con los escaques huecos de (p-1)x(p-1), más toda una fila, o toda una columna. En nuestro caso particular, huecos en 8x8 son 8 más una fila que tiene 9 huecos = 17 huecos. </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Muchas gracias.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN: "EL PAÍS"</span></b>: "<a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/tablero/cubierto/piezas/elpepusoc/20110525elpepusoc_13/Tes"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Un tablero (casi) cubierto con piezas</span></b></a>"</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><a href="http://www.elpais.com/elpaismedia/ultimahora/media/201105/25/sociedad/20110525elpepusoc_1_Pes_PDF.pdf">PDF</a> </b>adjunto </span></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/tablero/casillas/libres/elpepusoc/20110525elpepusoc_1/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-4833098965344279082011-05-16T21:34:00.003+02:002011-05-17T19:54:10.176+02:00Una Enorme Potencia de 2<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;"><a href="http://www.unizar.es/matematicas/algebra/elduque">Alberto Elduque</a></span></b>, catedrático de Álgebra de la <a href="http://www.unizar.es/"><b>Universidad Zaragoza</b></a>, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><span class="Apple-style-span" style="color: purple;"><b>noveno desafío</b></span></a> de <a href="http://www.elpais.com/"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">EL PAÍS</span></b></a> con el que se celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 16 de mayo (00.00 horas del martes). </span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">NOTA IMPORTANTE:</span></b> Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301. Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="http://2.gvt0.com/vi/9TPvbV_Heq4/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/9TPvbV_Heq4&fs=1&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><embed width="320" height="266" src="http://www.youtube.com/v/9TPvbV_Heq4&fs=1&source=uds" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">PISTA:</span></b> Quizás sólo dependa de las últimas cifras del exponente.</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veamos la solución en otro <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">RELATO CORTO</span></b>:</span><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 1: MIGUEL Y MARÍA</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> era un joven pastor de llamas que vivía cordillera occidental de los <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Andes</span></b>. Desde su pequeña aldea, cerca de la ciudad de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Yungay_(Per%C3%BA)"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><b>Yungay</b></span></a>, podía divisarse el pico de <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Huascar%C3%A1n"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Huascarán</span></a></b>, el cuál es el pico más alto de <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Perú</span></b>, con sus imponentes <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">6768 m de altura</span></b>.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Su aldea se encontraba además cerca de un famoso yacimiento arqueológico en el sitio de <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Keusho</span></b>, que data de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">1600 A.C.</span></b> De hecho <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> siempre pasaba cerca de ese asentamiento con sus llamas, camino de la zona de pastos. Aunque la verdad es que ese no era el camino más directo a su destino, pero sin embargo, él se desviaba día tras día 4 kilómetros de su ruta para pasar por allí. La razón no era otra que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b>, una joven arqueóloga peruana que trabajaba en el yacimiento, con la que siempre se detenía un rato a tomar una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Chicha_de_jora"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">chicha de jora</span></b></a>.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Uno de los días, <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> le preguntó si conocía la zona norte, cerca del Huascarán. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> le contestó que había ido alguna vez, pero que era un sitio peligroso lleno de espíritus que no querían que les molestaran. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> le comentó que según unas inscripciones en una de la piedras que habían desenterrado recientemente, en teoría podría haber una ciudad sagrada por aquella zona. Le comentó además que aquella información era confidencial, ya que aún no se había informado a las autoridades competentes del hallazgo y que ella quería echar un vistazo antes de que los burócratas tomaran cartas en el asunto. Se notaba que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> estaba dispuesta a todo por ser la primera en tener la posibilidad de encontrar la ciudad. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> volvió a insistir en que era un sitio peligroso y más para que fuera sola. Momento en que aprovechó <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> para decirle que por eso quería contar con él, para que la acompañará y le hiciera de guía. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> no tenía ninguna gana de ir hacía esa zona, pero ya se sabe una persona enamorada suele hacer cosas contrarias a su sentido común, así que finalmente aceptó. Se citaron para el domingo siguiente, único día libre que tenía <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b>, aunque sabía que le iba a costar explicar su ausencia de la Misa.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 2: EL CAMINO.</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El domingo siguiente a las 6 de la mañana <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> ya estaba esperando en el lugar acordado. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> llegó 20 minutos tarde, ya que según sus propias palabras había tenido que esconderse y ser muy sigilosa para que nadie notara que se iba, y los preparativos para que nadie notara su ausencia también se habían alargado más de lo previsto.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La primera parte de la caminata fue bastante sencilla, caminaron por senderos angostos pero bien delimitados. Pero a medida que se iban desviando hacia su objetivo el camino se hacía más arduo y empinado. Las primeras 3 horas fueron bastante entretenidas, durante las cuales estuvieron hablando entre ellos sin cesar. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> le contaba entusiasmada todos los descubrimientos que habían hecho y cuan trascendentes podrían llegar a ser, y que consecuencias tendría que ella fuera la primera persona en descubrir la ciudad sagrada. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> era feliz simplemente escuchando la voz de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b>.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La segunda parte de la camina fue otro cantar, se perdieron un par de veces, y dejó de hacer caminos artificiales, todo dependía de la interpretación de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> de los datos escritos en la piedra sagrada, de los cuales tenía una copia en papel, que había hecho con un carboncillo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Esto provoco una pequeña discusión, ya que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> tenía bastante miedo de perderse en esos parajes, pues era bien sabido que quién pasaba allí la noche tenía muchas posibilidades de no volver al mundo de los vivos.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una de las veces, cuando ya parecían desesperados y creían que vagaban un poco sin rumbo, <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> descubrió en una gran piedra a la derecha de donde se encontraban la señal que andaba buscando. A simple vista parecía una muesca natural en la piedra, pero si uno se acercaba, en seguida se daba cuanta que esa marca había sido realizada por las manos de los hombres. Además tal como pudo observar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b>, coincidía con exactitud con una de las marcas que había en el papel, para el inteligible que llevaba <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b>.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 3: LA PUERTA.</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Seis horas después de su partida, a eso del mediodía, por fin llegaron al lugar indicado en la piedra sagrada. Lo malo es que allí no había nada a simple vista. Sólo algunas piedras gigantes apoyadas en la ladera de la montaña, pero nada hacía sospechar que allí hubiera habido alguna vez una ciudad sagrada o algo semejante. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> comentó que era hora de volver, <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> había visto lo que quería ver con sus propios ojos, y si se quedaban mucho la noche los pillaría en el camino de vuelta.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pero <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> no estaba dispuesta después de 6 horas de larga caminata a rendirse tan pronto, y sin mucha dilación se puso a observar cada una de las piedras de alrededor. No tuvo que esperar mucho, en una de las grandes rocas había una pequeña apertura cubierta por un matorral. Al apartarlo pudo ver que la apertura conducía a una pequeña cueva. Cogió su frontal y comenzó a registrar la cueva. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> entró en pánico, odiaba la oscuridad y sabía que no era bueno meterse en una cueva, sin ni siquiera haber avisado a alguien que se iba allí, muchos lo habían pagado con su vida. Pero el amor a veces nos hace hacer cosas irracionales, y finalmente ante la insistencia de ella, entró en la cueva.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Unos 50 metros más adelante encontraron lo que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> buscaba una gran losa a modo de puerta bloqueaba el camino. Toda la losa estaba escrita con los mismos símbolos que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> tenía en su papel.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 4: EL ENIGMA.</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una hora tardo <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> en descifrar el mensaje, y según lo iba descifrando se iba poniendo más seria pues para poder continuar debían resolver un enigma matemático, y ella apenas recordaba algo de matemáticas, pues era bien sabido que las Matemáticas no eran parte de la cultura en general. Ella era de letras, y los de letras no tenían porque saber Matemáticas. El enigma decía así:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">“Hallar las dos últimas cifras del número: 2<sup>528xxxx7301</sup></span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">Quién así lo haga y las escriba correctamente en el cuadrado sagrado</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">será considerado un erudito y se le permitirá el paso”</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> estaba desolada, como alguien iba a conseguir calcular eso, ni siquiera con un ordenador, además el tiempo había borrado cuatro de los números, lo que hacía que hubiera muchísimas combinaciones posibles. Lo del cuadrado mágico era más entendible pues había un pequeño cuadrado decorado debajo con un visible espacio en blanco en el centro. Además su inútil guía al que sólo había invitado porque sabía que estaba coladito por ella y se podría aprovechar de él no le sería de ninguna ayuda.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 5: CONTANDO LLAMAS Y HACIENDO TABLAS.</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> en seguida se percato del estado de ánimo de su amada, y le preguntó que le ocurría, si él podía ayudar en algo. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> le miro con desprecio y le preguntó irónicamente <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¿Acaso sabes Matemáticas?</span></i>, a lo que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> contestó: “<i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Se contar llamas</span></i>”. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> comenzó a reír a carcajadas y a mofarse del pobre pastor, y a gritar: “<i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">De qué coño me sirve que sepas contar llamas, si no conocieras la zona, ni siquiera le dirigiría la palabra a un zarrapastroso como tú</span></i>”. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> se sintió muy dolido, pero atribuyo los comentarios de la joven a su estado de nerviosismo, así que aspirando profundamente le contesto: “<i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Déjame intentar ayudarte, si no lo intentamos, ¿cómo puedes saber que no podemos hacerlo?</span></i>”. María decidió divertirse un rato a costa del pobre pastor, le tradujo el mensaje con la intención del que pastor reconociera su torpeza y así poder mofarse de él.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> no comprendió en un primero momento el enigma que era eso de 2 y encima muchos números. Le preguntó a <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b>, que con aire de superioridad le explicó lo único que había recordado de Matemáticas, eran potencias del 2, cada número de arriba significaba cuantas veces habíamos multiplicado a 2 por sí mismo, esto es: <b><span class="Apple-style-span" style="color: #4c1130;">2<sup>1</sup>=2</span></b>; <b><span class="Apple-style-span" style="color: #4c1130;">2<sup>2</sup>=2·2=4</span></b>, y así hasta llegar al número del enigma y que a 2 se le llamaba base y al número de arriba exponente.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Llevaban bastante tiempo en la cueva, pero afortunadamente llevaban linternas de sobra. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> se sentó en el suelo de la cueva y comenzó a cavilar:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">“<span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Vamos a ver si me entero 2<sup>1</sup> es 2, y 2<sup>2</sup> es dos veces dos, 2<sup>3</sup> es entonces 2·2·2, interesante. Bien vamos a pensar si yo tengo 2 llamas eso de me da 2 llamas, si tengo 2<sup>2</sup> llamas eso me da 4 llamas, si tengo 2<sup>3</sup> llamas eso me da 8 llamas, si tengo 2<sup>4</sup> llamas eso me da 8·2, que son 16 llamas, si tengo 2<sup>5</sup> eso me da 16·2, que son 32 llamas, si tengo 2<sup>6</sup> me da 32·2 que son 64, vaya sería rico 64 llamas, nada más y nada menos. No pienses en eso ahora Miguel, ponte a resolver el enigma, se dijo a sí mismo.</span></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Ufff voy por 6 ya se complica la cosa, así que no creo que sea posible llegar a ese número tan grande</span>", de hecho pensó en ese mismo momento que nunca había visto un número tan grande.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pero por esas cosas que suceden a veces por puro azar y otras por talentos ocultos, tuvo una pequeña revelación,<b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;"><i> la última cifra se repetía cada 4 números que calculaba ¿y si también se repetían las 2 últimas cifras cada cierto tiempo.</i></span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> sonrió y con su cayado de pastor comenzó a dibujar una tabla en una zona de arenilla que había en la cueva, cerca de la losa. En la primera fila colocó las cuatro primeras potencias del 2, y en la segunda los resultados de estas, y así prosiguió multiplicando por 2, tabla de multiplicar que se sabía muy bien, pero colocando en el resultado sólo las dos últimas cifras de la multiplicación que se obtenía:</span></div><br />
<div align="center" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; font-family: arial, helvetica, clean, sans-serif; font-size: 12pt;"><table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>1</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>2</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>3</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>4</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">02</div></td><td><div align="center">04</div></td><td><div align="center">08</div></td><td><div align="center">16</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>5</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>6</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>7</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>8</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">32</div></td><td><div align="center">64</div></td><td><div align="center">28</div></td><td><div align="center">56</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>9</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>10</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>11</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>12</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">12</div></td><td><div align="center">24</div></td><td><div align="center">48</div></td><td><div align="center">96</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>13</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>14</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>15</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>16</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">92</div></td><td><div align="center">84</div></td><td><div align="center">68</div></td><td><div align="center">36</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>17</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>18</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>19</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>20</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">72</div></td><td><div align="center">44</div></td><td><div align="center">88</div></td><td><div align="center">76</div></td></tr>
</tbody></table></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> paro de repente, pues se dio cuenta de tres hechos importantes:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><b>a)</b> </span>El primero que terminase como terminase el número del enigma, las dos últimas cifras del número sólo podían estar en la columna 1 o en la 3, pues la 2 y la 4 eran para exponentes pares, y hasta él que era un simple pastor se percataba de que el exponente del número ese era impar pues terminaba en 1.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">b) </span></b>El segundo hecho importante fue que comprobó que los números de los exponentes de las columnas se incrementaban de 4 en 4 de una fila a la siguiente, esto es si en la primera fila el exponente era 1, en la segunda era 1+4=5 y en la tercera 5+4 =9, y así en todas las columnas.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">c)</span></b> Por último el hecho más relevante es que los resultados de las potencias del dos también seguían una pauta en cada una de las columnas a partir de la segunda fila. En la primera columna los resultados se incrementaban de 80 en 80, en la segunda de 60 en 60, en la tercera de 20 en 20 y en la última de 40 en 40. Y todo el mundo sabía que sumar era más fácil que multiplicar.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Con lo que había descubierto rehízo la tabla, quedándose sólo con las columnas 1 y 3 y al sumar tomando sólo las dos últimas cifras:</span></div><br />
<div align="center" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; font-family: arial, helvetica, clean, sans-serif; font-size: 12pt;"><table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>1</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>3</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">02</div></td><td><div align="center">08</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>1+4=5</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>3+4=7</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">32</div></td><td><div align="center">28</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>5+4=9</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>7+4=11</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">32+80→12</div></td><td><div align="center">28+20→48</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>9+4=13</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>11+4=15</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">12+80→92</div></td><td><div align="center">48+20→68</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>13+4=17</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>15+4=19</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">92+80→72</div></td><td><div align="center">68+20→88</div></td></tr>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>17+4=21</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>19+4=23</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">72+80→52</div></td><td><div align="center">88+20→08</div></td></tr>
</tbody></table></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tenía la intención de seguir hasta 301, pues sumando sabría que llegaría, pero volvió a darse cuenta de dos hechos importantes:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">a) </span></b>Los exponentes impares se iban intercambiando, esto es si en la primera columna aparecía el 1, en la segunda aparecía el 11, y el 21 volvía a aparecer en la primera, por lo que el 31 aparecería en la segunda y el 41 por lo tanto tendría que pertenecer a la primera columna. Comprobó que sucedía el mismo con los exponentes que terminaban en 3, 5, 7 y 9, todos se iban alternando entre las dos columnas.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">b)</span></b> El segundo hecho y quizás el más importante es que había aparecido una coincidencia, las dos últimas cifras del número 2<sup>3</sup> eran iguales que las dos últimas cifras del número 2<sup>23</sup>, exactamente 20 exponentes después. ¿Ocurriría lo mismo siempre?</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> miraba intrigada los números que iba poniendo, preguntándose es que el pastor realmente sabía Matemáticas, o simplemente estaba haciendo tiempo porque no se atrevía a confesar que no tenía ni idea. Además habían pasado las horas sin darse cuenta y e hacía tarde y mucho temía que tendrían que pasar allí la noche, que por lo menos estaban protegidos de las frías temperaturas de fuera.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> seguía a lo suyo, pensó que sería bueno probar primero su segunda hipótesis. Si lo que suponía era cierto las dos últimas cifras de 2<sup>5</sup> serían igual a las de 2<sup>25</sup> y las de 2<sup>7</sup> a las de 2<sup>27</sup>, así que con sólo añadir una fila de resultados a su tabla lo sabría y además le servía para comprobar su primera suposición ya que 25 aparecía en la primera columna después de que 15 apareciera en la segunda, y 27 aparecía en la segunda columna después de que 17 apareciera en la primera. (El pastor había supuesto bien, ya que como el lector sabe al haber sólo cinco cifras impares en los exponentes: 1, 3, 5, 7 y 9, y colocando dos números impares por fila, siempre iremos alternado en las columnas las cifras, ya que en tres filas caben 6 números, por lo que comenzaremos otra vez por 1 pero en la segunda columna, rellenando el sexto hueco).</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> añadió una fila más:</span><br />
<br />
<div align="center" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; font-family: arial, helvetica, clean, sans-serif; font-size: 12pt;"><table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody>
<tr><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>21+4=25</sup></span></b></div></td><td><div align="center"><b><span style="color: #0070c0;">2<sup>23+4=27</sup></span></b></div></td></tr>
<tr><td><div align="center">52+80→32</div></td><td><div align="center">08+20→28</div></td></tr>
</tbody></table></div></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Confirmado las dos últimas cifras coincidían cada 20 exponentes, lo comprobó con alguna cifra más y lo dio por válido. (Los más astutos lectores se habrán dado cuenta que las dos últimas cifras se repiten cada 5 filas justo en el momento que los exponentes impares vuelven a la columna de origen, esto es el exponente 5 es de la primera columna, el 15 de la segunda, y el 25 de la primera (dónde el 5 vuelve a la primera columna), luego justo ahí y no en otro lugar se repiten las dos últimas cifras).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> se había dado cuenta que ya había casi resuelto el problema. Sólo tenía que ver en que columna caía el 301 final del exponente del número del enigma. Al lado de la tabla anterior calculó en que columna estaría el 2<sup>301</sup> y cuáles serían sus últimas dos cifras. Para ellos dado que las cifras se repetían cada 20 exponentes, dividió 301 entre 20 y que le dio 15 y pico, se quedo con el número entero, y entonces calculó:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>301 - (15·20) = 301 – 300 = 1</b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Luego el 2<sup>301</sup> caía en la misma columna que el 2<sup>1</sup> es decir en la primera. Sabía que el 2<sup>1</sup> era una excepción pero porque lo había observado (quizás por ser el primero), pero salvo 2<sup>1</sup>, las dos últimas cifras de 2<sup>21</sup>, 2<sup>41</sup>, 2<sup>61</sup>, 2<sup>81</sup>, 2<sup>101</sup>, …, 2<sup>301</sup>, …., 2<sup>7301</sup>, …., 2<sup>528xxxx7301</sup>, serían las mismas, sólo tuvo que mirar a la tabla al 2<sup>21</sup>, para darse cuenta que él número de dos cifras buscado era: <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">52</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Loco de alegría grito: <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">52, 52, 52, 52,…, el número que buscamos es el</span></b></span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple; font-size: x-large;">52</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> no daba crédito a sus oídos, <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> decía que había descubierto el número, menudo imbécil. Pero prefirió seguirle la corriente, la noche se acercaba y no deseaba provocarlo más por si acaso, después de todo estaban los dos solos y nadie sabía que estaban allí.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 6 Y FINAL: EL DESENLACE.</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> se acerco al cuadrado sagrado y con su cayado dibujo el <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">52</span></b>, pero no sucedió nada. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> sonreía para sí, pobre iluso se decía. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> volvió a intentarlo y nada sucedió. Finalmente <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> sonrió y se volvió hacia <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> preguntándole, <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¿Cómo se escribe 52 en esa lengua tan rara?</span></i>. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> se sorprendió, pues claro, no había caído, aunque <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> hubiera acertado de pura chiripa no podría poner el número si no sabía los símbolos adecuados. Así que por un instante, sintió verdadera curiosidad y arrancándole de las manos el cayado a <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> mientras decía: <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¡Quita de ahí, deja a una profesional!</span></i>, comenzó a dibujar el <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">52</span></b> en la antigua lengua. Le llevó un tiempo pues no quería equivocarse, pero al final lo consiguió escribir sin problemas.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Al principio no sucedió nada, pero a los 30 segundos un ruido sordo comenzó a oírse y la losa comenzó a abrirse milímetro a milímetro. María estaba muy sorprendida, en primer lugar por lo inesperado de la situación y en segundo se preguntaba si de verdad <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> había calculado lo que ni los ordenadores podrían.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La puerta finalmente se abrió del todo y dejó a la luz del frontal una pequeña estancia, en dónde no había ni los tesoros esperados, ni la ciudad sagrada que buscaban, sólo otra pequeña losa mucho más ornamentada que la primera con más inscripciones.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> estaba un poco desilusionada, pero pensando que se trataba de otra pista, se puso a traducir lo escrito en la losa. Trabajo duro durante unas horas, mientras Miguel le iba proporcionando todo lo que necesitaba, agua, comida, una manta, …</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A eso de las 8 de la mañana del día siguiente termino, cogió sus notas y volvió a leer lo que había descubierto escrito en la losa, y sonrió para sí misma bastante avergonzada, había sido una necia, quizás era hora de cambiar de actitud. Se volvió hacia <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> y le dijo: “<i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Es hora de irnos, ya te he robado demasiado tiempo</span></i>”.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> no quiso preguntarle nada, simplemente se puso a recoger, y emprender el camino de regreso a su lado. Caminaron unas horas sin hablar, hasta que a medio camino, <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María </span></b>se paro es seco, y con lágrimas en los ojos dijo: “<i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Perdóname Miguel te he arrastrado a esta aventura aprovechándome de ti, has venido sin pedir nada a cambio, y yo lo único que he hecho ha sido insúltate y menospreciarte. Lo siento de corazón no volverá a suceder, y como mínimo te tengo que invitar a comer por tu ayuda, y no acepto un no por respuesta</span></i>”.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> estaba alucinando, le pedía perdón y además le invitaba a comer, a él, si a él. El cambio había sido sustancial desde que había descifrado lo escrito en la última losa, así que preguntó algo que quería saber desde hacía horas: <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¿Qué había escrito en la última losa?</span></i></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> le miro muy pensativa, y durante tres o cuatro minutos no dijo nada, hasta que contesto:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">“El único lugar sagrado real que existe es el que uno mismo crea y la única ciudad real que siempre existe es la que habita en nuestro corazones, dependerá de cómo construyamos nuestros corazones, para ser dignos o no, de lo sagrado”</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> sonrió para sí, era una cita un poco cursi, pero había tocado a su amiga en lo más hondo. <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> miro fijamente a <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> y le hizo la pregunta que llevaba tiempo deseando hacerle:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¿Cómo supiste el número que había que escribir?</span></i>,</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">lo calculé</span></i>, contesto <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b>,</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¿Y no hubieras sabido nada de Matemáticas?</span></i>, volvió a preguntar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">bueno entonces sólo habría que haber probado 50 posibilidades</span></i></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">¿50?</span></i></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">si se pedían sólo las dos últimas cifras, luego eso sólo daba 100 posibilidades del 00 al 99, pero como debía ser un número par por estar multiplicado por dos en realidad sólo podía haber 50 posibilidades. Aunque en realidad sólo existían 21 posibilidades, pues salvo el primer número el 02, los demás se repiten cada 20 números. Aunque sabiendo que el exponente es impar podíamos haberlo reducido sólo a 11 posibilidades.</span></i></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Increíble, y ¿cómo supiste cuál era de los 11?</span></i></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Bueno se podían reducir aún más las posibilidades, bastaba con saber que como ya te he dicho cada 20 números se repetían las dos últimas cifras, pero también se repetía la última cifra del exponente de las potencias. Luego bastaba con buscar la potencia más pequeña cuya última cifra del exponente coincidiera y a la que se pudiera llegar restándole múltiplos de 20.</span></i></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">- <i><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">De verdad Miguel, no creía que nunca dijera esto, pero estoy gratamente impresionada</span></i>.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Llegaron a eso de las dos de la tarde al yacimiento, y es cuando ambos se percataron de que tendrían problemas. Finalmente habían notado la ausencia de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> y se habían organizado partidas de búsqueda, y <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel </span></b>sabía que a esa hora ya debía estar en los pastos con sus llamas, su jefe le iba a matar.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">No queremos extendernos más en nuestra historia, sólo comentar que los problemas que se encontraron al llegar, no tardaron en solucionarse, y que a partir de aquel viajes, si bien, nunca llegaron a nada más, fue el inicio de una gran amistad entre <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">María</span></b> y <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Miguel</span></b> que duro muchos años, hasta que la distancia entre las dos ciudades en las que vivían hizo su trabajo sucio.</span></div><br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS":</span></b> <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/enorme/numero/acaba/52/elpepusoc/20110517elpepusoc_2/Tes"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Un enorme número que acaba... en 52</span></a></span></div></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/numero/enorme/termina/52/elpepusoc/20110517elpepusoc_2/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-46050137228579549482011-05-07T11:14:00.003+02:002011-05-16T21:19:36.243+02:00Un Cubo de Suma Cero<div style="ext-align: justify;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Izar Alonso</span></b> (IES Diego Velázquez de Torrelodones) y <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Paula Sardinero</span></b> (Colegio Virgen de Europa de Boadilla del Monte), estudiantes de 4º de ESO que participan en el <a href="http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat">Proyecto ESTALMAT</a>, presentan el octavo <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html">desafío de EL PAÍS</a>. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 10 de mayo (00.00 horas del miércoles). </span></div></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">NOTA IMPORTANTE:</span></b> Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.</span></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.</span></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/QhV-0eavh9s?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PISTA:</b> </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Quizás sea imposible</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">He aquí mi solución en forma de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">RELATO CORTO</span></b>:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #0c343d;">PARTE 1: EL PROBLEMA</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Erase un planeta en forma de cubo que poco a poco se iba desviando de su órbita original debido al impacto de un enorme meteorito, haciendo que poco a poco se fueran alejando de la estrella que proporcionaba al planeta la energía necesaria para su existencia vital. </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los magos del reino más poderoso, después de un exhaustivo estudio determinaron que debido al impacto, el campo magnético del planeta había sido modificado considerablemente, por lo que para no seguir alejándose de su órbita debían restablecer dicho campo, de tal forma que la suma del campo gravitatorio existente en cada uno de los vértices del planeta más la suma de la fuerza gravitatoria existente en el punto de cruce de las diagonales (llamado <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Punto Zeta</span></b>) que unen los vértices de una cara debía ser nula. Como dato los sabios sabían que dicha fuerza gravitatoria era el producto del campo gravitatorio de los vértices de la cara de donde partían cada una de las dos diagonales.</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img34.imageshack.us/img34/6098/problemacubo2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img34.imageshack.us/img34/6098/problemacubo2.jpg" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Para poder restablecer el campo gravitatorio, el planeta poseía unas piedras mágicas llamadas las piedras del poder, de las cuales existían dos clases, las <b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">piedras alfa </span></b>aumentaban el campo gravitatorio existente en una unidad y las <b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">piedras beta</span></b> que lo disminuían en un unidad. De tal forma que una piedra alfa anulaba una piedra beta y viceversa. </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Piedra Alfa + Piedra Beta = 0</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una vez descubierto el problema, los magos mediante un comunicado de prensa sin opción a preguntas, expusieron el tema a la opinión pública y al resto de países para intentar hallar una solución al problema, de tal forma que se supiera cuantas piedras de cada clase eran necesarias y dónde habría que colocarlas.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 2: EL PASTOR DE LEJIS Y EL FIN DEL MUNDO.</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Todos los magos del mundo cúbico se pusieron a investigar, pero el tiempo pasaba y no encontraban una solución. Hasta que el problema llegó a oídos de un pequeño pastor de lejis (una especie de animal entre un león y una jirafa). Este haciendo uso de su cayado, comenzó por simple diversión a intentar resolver el problema mediante dibujos en la arena del desierto dónde vivía. </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como había escasez de piedras mágicas decidió que colocaría como máximo una en cada vértice. Esto hacia que la suma a realizar tuviera 14 sumandos (8 vértices del planeta más 6 puntos zeta)</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto el pastor se dio cuenta de que sólo existía una posibilidad de que la suma fuera cero y es que entre los sumandos hubiera 7 puntos con campo gravitatorio positivo y 7 puntos con campo gravitatorio negativo, de tal forma que se anulen entre sí. Por lo que las posibilidades eran:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img190.imageshack.us/img190/9592/tablacubo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="180" src="http://img190.imageshack.us/img190/9592/tablacubo.jpg" width="90%" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pero se también se percato de que las opciones 5, 6 y 7 eran iguales por simetría a las Opciones 1, 2 y 3 pero con signo contrario. Por lo tanto se propuso estudiar cada una de las 4 opciones posibles, una por una. Aunque evidentemente la cosa tenía mala pinta pues los <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta</span></b> dependían de los valores que tomarán los vértices al colocar allí las piedras mágicas.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Opción 1:</span></b> Colocar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">7 piedras alfa y 1 beta</span></b> en los vértices:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img831.imageshack.us/img831/6227/op1vq.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="212" src="http://img831.imageshack.us/img831/6227/op1vq.jpg" width="320" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor comprobó que con esta configuración no se obtenían los 6 Puntos Zeta negativos que se necesitaban; si no <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">3 Puntos Zeta positivos y 3 Negativos</span></b>, por lo que la suma total sería +6, y por lo tanto <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">esta opción quedaba descartada</span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Opción 2:</span></b> Colocar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;"> 6 piedras alfa y 2 beta</span></b> en los vértices:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Obteniendo 3 posibles casos:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">a) Las dos piedras beta pertenecen a una misma arista.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">b) Las dos piedras beta pertenecen a una diagonal de una cara.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">c) Las dos piedras beta pertenecen a una diagonal del cubo.</span></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img809.imageshack.us/img809/6718/opc2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="180" src="http://img809.imageshack.us/img809/6718/opc2.jpg" width="90%" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor comprobó que en ninguno de los 3 casos obteníamos 5 puntos Zeta Negativos y 1 Positivo (como indicaba la tabla que eran necesarios). Si no que se obtenían los siguientes valores en los puntos Zeta:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">a) 4 Puntos Zeta Positivos y 2 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">b) 2 Puntos Zeta Positivos y 4 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">c) 0 Puntos Zeta Positivos y 6 Negativos</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Luego la <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">opción 2 también quedaba descartada</span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Opción 3:</span></b> Colocar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">5 piedras alfa y 3 beta</span></b> en los vértices:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Obteniendo de nuevo 3 posibles casos:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">a) Las tres piedras beta pertenecen a una misma cara.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">b) Las tres piedras beta pertenecen cada una a una arista distinta.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">c) Dos piedras beta pertenecen a una misma cara y la tercera a otra cara del cubo.</span></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img810.imageshack.us/img810/2930/opc3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="180" src="http://img810.imageshack.us/img810/2930/opc3.jpg" width="90%" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor empezaba a desesperarse, pues confirmo sus peores sospechas, colocará como colocará las piedras beta, nunca obtendría los 2 puntos zeta positivos y 4 negativos que necesitaba; sino que siempre obtenía <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">3 Puntos Zeta Positivos y 3 Puntos Zeta Negativos</span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">Esta opción queda pues también descartada</span></b>. El pastor que estaba ya bastante triste viendo lo que iba a suceder se concentro en la última opción posible.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Opción 4: </span></b>Colocar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">4 piedras alfa y 4 beta </span></b>en los vértices:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Obteniendo 6 posibles casos:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">a) Las cuatro piedras beta pertenecen a una misma cara.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue;">b) Tres de las piedras beta pertenecen a una misma cara y la otra a la opuesta (3 casos: b1, b2 y b3)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue;">c) Dos piedras beta pertenecen a una cara y las otras dos a la opuesta (2 casos: c1 y c2)</span></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img31.imageshack.us/img31/5083/op4t.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="http://img31.imageshack.us/img31/5083/op4t.jpg" width="90%" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor comprobó desolado que en ninguno de los casos se obtenían los 3 Puntos Zeta Positivos y 3 Negativos necesarios, sino que obtuvo los siguientes resultados:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">a) 6 Puntos Zeta Positivos y 0 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">b1) 0 Puntos Zeta Positivos y 6 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">b2) 2 Puntos Zeta Positivos y 4 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">b3) 4 Puntos Zeta Positivos y 2 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">c1) 6 Puntos Zeta Positivos y 0 Negativos</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">c2) 6 Puntos Zeta Positivos y 0 Negativos</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor se derrumbo de rodillas en el suelo, las lágrimas le brotaban a borbotones de los ojos. </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">!EL PLANETA CÚBICO ESTABA PERDIDO!. ERA IMPOSIBLE CONSEGUIR QUE LA SUMA FUERA CERO.</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 3: EL ÚLTIMO INTENTO</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pero nuestra pequeña historia continúa ya, que el pequeño pastor no se dio por vencido, se dijo ¿y si hay alguna posibilidad de colocar más de una piedra mágica en cada vértice?</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Descubrió que al tener más de una piedra mágica, prácticamente la única forma que podría existir de conseguir una suma cero, era conseguir que la suma de las fuerzas gravitatorias de los seis "<b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta</span></b>" fuera cero (Ya que a más piedras en cada vértice, los puntos zeta crecían exponencialmente). Para ellos eligió una configuración cualquiera (sabiendo que existían muchas otras tanto por simetría como por reflexión de caras), pero lo esencial es que las caras opuestas tuvieran valores opuestos. Llegando a este dibujo en la arena del desierto, llamando al producto de los vértices de las caras visibles <span>"<b><span style="color: #00007f;">A<sup>4</sup></span></b>"</span> y al producto de los vértices de las caras no visibles "<span><b><span style="color: #00007f;">- (A<sup>4</sup>)"</span></b></span> (por ser caras opuestas):</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img829.imageshack.us/img829/922/cubo2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img829.imageshack.us/img829/922/cubo2.jpg" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor se percató rápidamente que para que la fuerza gravitatoria de un <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Punto Zeta</span></b> fuera <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">- <span class="Apple-style-span" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; font-weight: normal; line-height: 16px;"><b><span>A<sup>4</sup></span></b></span> (llamado Punto Zeta negativo)</span></b>, bastaba con que tres de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A</span></b>" y el cuarto "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">- A</span></b>", o bien, tres de los vértices tuvieran valor “<span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><b>-A</b></span>” y el cuarto valor “<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A</span></b>” de tal forma que: </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"> a) <span><b><i><span style="color: #007f40;">(A)<sup>3</sup> · (- A) = - A<sup>4</sup></span></i></b></span> o b) <i><span style="color: #007f40;"><b>(-A)<sup >3</sup> · (A) = - A<sup >4</sup></b> </span></i></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Igualmente para que un <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Punto Zeta</span></b> fuera <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px; border-collapse: collapse; line-height: 16px;"><span>A<sup>4</sup></span></span> (llamado Punto Zeta positivo)</span></b>, bastaba con que dos de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "<span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><b>- A</b></span>" y otros dos "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A</span></b>", o bien los 4 vértices tomaran valor positivo, de tal forma que: </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">c) <span><b><i><span style="color: #007f40;">A<sup>2</sup> + (-A)<sup>2</sup> = A<sup>4</sup></span></i></b></span> o d) <i><span style="color: #007f40;"><b>A<sup>4</sup></b></span></i></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor sabiendo lo anterior descubrió que si una cara tenía un <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta positivo</span></b> poseía un número par de vértices negativos y que si una cara tenía <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta negativo</span></b>, poseía un número impar de vértices negativos.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo hizo un dibujo en la arena aplicando lo descubierto y llegó a la conclusión de que para que el flujo de energía del planeta volviera a equilibrarse, sólo existían dos posibles soluciones (con todas sus simetrías y posibles reflexiones):</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img829.imageshack.us/img829/7463/cubo3a.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img829.imageshack.us/img829/7463/cubo3a.jpg" /></a></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img708.imageshack.us/img708/6245/cubo3b.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img708.imageshack.us/img708/6245/cubo3b.jpg" /></a></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor volvió a quedar desolado, aunque los puntos zeta se anulaban, siempre había más piedras mágicas de un tipo que de otro, por lo que nunca se conseguiría una suma cero.</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">DEFINITIVAMENTE ERA EL FIN DEL PLANETA</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor no sabía muy bien que hacer, estaba todo el día deprimido, por una parte no tenía sentido seguir ejerciendo pues según estimaban en tres meses el planeta empezaría a estar tan lejos de su órbita original que los animales y plantas comenzarían a perecer, pero por otra parte se sentía muy vinculado a sus animales, y en cierta manera pensaba que era mejor estar con ellos que con sus semejantes, pues eran mucho más fieles y sinceros.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 4: UN RAYO DE ESPERANZA, ERROR EN LAS MEDICIONES DE LOS MAGOS.</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A los pocos días llego la noticia, los magos se habían equivocado y según nuevas mediciones en los <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta</span></b>, la fuerza gravitatoria en estos no era el producto de los cuatro vértices de esa cara, sino la <b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">SUMA</span></b> de los vértices de la misma, y además por esta razón al crecer la fuerza gravitatoria de los puntos de forma más atenuada, el nuevo cálculo databa el fin del mundo a 30 años vista.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aún así nadie fue capaz de resolver el nuevo problema, nadie excepto nuestro pequeño pastor que se puso a ello enseguida. Este volviendo a hacer uso de su cayado, comenzó a intentar resolver el problema mediante dibujos en la arena del desierto dónde vivía. Y descubrió que existían muchas soluciones al problema, pero que básicamente consistían en conseguir que la suma de las fuerzas gravitatorias de los seis "<b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta</span></b>" fuera cero. Para ellos eligió una configuración cualquiera, pero lo esencial es que las caras opuestas tuvieran valores opuestos. Llegando a este dibujo en la arena del desierto, llamando a la suma de las caras visibles "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A</span></b>" y a la suma de las caras no visibles "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">-A</span></b>" (por ser caras opuestas):</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img148.imageshack.us/img148/922/cubo2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img148.imageshack.us/img148/922/cubo2.jpg" /></a></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor se percató rápidamente que para que la fuerza gravitatoria de un <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Punto Zeta</span></b> fuera <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">A (llamado Punto Zeta positivo)</span></b>, bastaba con que tres de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A/2</span></b>" y el cuarto "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">- A/2</span></b>", de tal forma que: </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">3·(A/2) + (- A/2) = A</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Igualmente para que un <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Punto Zeta</span></b> fuera <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">- A (llamado Punto Zeta negativo)</span></b>, bastaba con que tres de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">- A/2</span></b>" y el cuarto "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A/2</span></b>", de tal forma que: </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">3·(- A/2) + (A/2) = - A </span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor sabiendo lo anterior descubrió que si un vértice (formado por la intersección de tres caras) tenía más caras con <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Puntos Zeta positivos</span></b> que caras con <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Puntos Zeta negativos</span></b>, ese vértice debía tomar el valor de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">A/2</span></b>, y si por el contrario en un vértice del planeta cúbico concurrían más caras con Puntos Zeta negativos que positivos ese vértice debía tomar el valor de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">- A/2</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto dibujo en la arena lo descubierto y llegó a la conclusión de que para que el flujo de energía del planeta volviera a equilibrarse, debía hacerse de la siguiente forma:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img718.imageshack.us/img718/469/cubo3r.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img718.imageshack.us/img718/469/cubo3r.jpg" /></a></span></div><br />
<div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ante tal descubrimiento el pastor estaba muy contento, pues se dio cuenta que había infinitas formas de resolver el problema de su planeta. Sin embargo sabía que las piedras alfa y beta eran muy escasas en el planeta por lo que habría que perfeccionar su solución para que se usaran el menor número de piedras mágicas posibles.</span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Después de discurrir dio con la clave, tan solo tenía que considerar que "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">A/2 = 1 Piedra Alfa = 1</span></b>" y "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">- A/2 = 1 Piedra Beta = -1</span></b>". Redibujo el cubo que representaba a su mundo con los nuevos valores, y obtuvo: </span></div></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img35.imageshack.us/img35/1958/cubo4.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="212" src="http://img35.imageshack.us/img35/1958/cubo4.jpg" width="320" /></a></span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Quedando el valor de los <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">Puntos Zeta</span></b>:</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img837.imageshack.us/img837/6244/cubo5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img837.imageshack.us/img837/6244/cubo5.jpg" /></a></span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto bastaba con usar <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">8 piedras alfa y 8 piedras beta</span></b>, de tal forma que la suma total de los <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Puntos Zeta</span></b> más los vértices es cero:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #38761d;">8·(1) + 8·(-1) + 3·(2) + 3· (-2) = 0</span></b></span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Además sabía que debido a la simetrías y reflexiones había muchas más soluciones posibles.</span></div></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">PARTE 5: LUCHANDO HASTA EL FINAL</span></b></span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El pastor muy contento por lo que había descubierto se dirigió a la ciudad más cercana e intentó ponerse en contacto con el mago local para comunicarle su hallazgo. Desgraciadamente el mago estaba demasiado ocupado según palabras de la secretaria de este para recibir al pastor, por lo que se le comunico al pastor muy sutilmente que no volviera por allí. El pastor que era muy persistente aprovechó un descuido para colarse en la sala de juntas, pero en lugar de escucharle, le echaron a patadas y paso dos días en el calabozo del castillo de la ciudad.</span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Al salir el pastor decidió ir a otra ciudad que estaba relativamente cerca, y con su rebaño hacía allí se dirigió, pero después de tres días de larga travesía tampoco tuvo suerte y no fue recibido por el mago local, de hecho según llegó le detuvo la guardia de la ciudad, pues habían recibido informes de que un perturbador se dirigía para allí, y pasó una semana en otro calabozo. Para su desolación cuando volvió a por su rebaño, vio que la mitad había muerto de hambre y la otra mitad se lo habían robado debido al tiempo que había permanecido desatendido.</span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aunque estaba muy triste, considero que el futuro de su planeta era más importante que su rebaño o su propia vida, por lo que intento comunicar su hallazgo a los informadores de su país (una especie de periodistas), pero estos no le hicieron caso, pues había en fechas próximas un partido de escondite con balón entre las dos ciudades más importantes del país que clasificaba para la champions league de escondite con balón.</span></div><br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Su último intento fue mandar un montón de cartas a todos los conocidos, amigos, informadores de otros países, jefes locales de ciudades, etc, gastando para ello todos sus ahorros. Pero la mayoría de las cartas ni siquiera fueron abiertas, y las que lo fueron, fueron abiertas por personas que no entendían lo que ponía por lo que no fueron tenidas en cuenta. Al final sólo unos pocos leyeron la carta, pero al intentar comunicar lo que esta decía tuvieron igual suerte que el pastor.</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Desgraciadamente los magos se volvieron a equivocar en sus mediciones y tres años después, el último ser del planeta murió al no tener el planeta luz y calor suficientes para que la vida continuará, ya que el planeta cúbico se había alejado mucho de su estrella. Eso si, como nota importante decir que el equipo de la ciudad del pastor consiguió ganar la champion league de escondite con pelota ...</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="color: #274e13; class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>SOLUCIÓN "EL PAÍS": </b><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cubo/suma/cero/existe/elpepusoc/20110511elpepusoc_14/Tes">El cubo de suma cero... no existe</a>. La soluciones propuestas son bastante mejores y más elegante que la mía. Pero como ya comenté, me lo estaba pasando también con la historia que ni siquiera intente mejorar la mía.</span></div><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/imposible/cubo/suma/cero/elpepusoc/20110511elpepusoc_2/Ves/" title="YouTube video player" width="90%"></iframe><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-79775688857490188252011-04-29T20:33:00.009+02:002011-05-07T11:07:40.257+02:00Un Piano Gigantesco<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">José Garay</span></b>, profesor de la <a href="http://www.unizar.es/"><b>Universidad de Zaragoza</b></a>, presenta el séptimo <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html">desafío de EL PAÍS</a>. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 2 de mayo (00.00 horas del martes). </span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Nota importante:</span></b> Para evitar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado del problema por escrito.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Enunciado:</span></b> Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><i>1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?</i></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><i>2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?</i></b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Aclaración:</span></b> Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="http://2.gvt0.com/vi/onFJceT_E14/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/onFJceT_E14&fs=1&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><embed width="320" height="266" src="http://www.youtube.com/v/onFJceT_E14&fs=1&source=uds" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object></div><br />
<div style="text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="color: #274e13;">PISTA: </b>Progresiones Aritméticas de Orden 2.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veamos la solución enviada:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primero numeramos las distintas teclas, empezando por la primera que será la 1, la segunda que será la 2, y la 7000 que será evidentemente la tecla 7000.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿Qué teclas voy a tocar?</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pues siguiendo las indicaciones del problema toco las teclas:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">1, 2, 4, 7, 11, 16, ...</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tenemos pues una progresión aritmética de orden 2. Obtenemos el término general:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_n=\displaystyle\binom{n}{0}\cdot{f(x_0)}+\displaystyle\binom{n}{1}\cdot{\Delta f(x_0)}+\displaystyle\binom{n}{2}\cdot{\Delta^2 f(x_0)}$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Operando obtenemos que (no colocamos los cálculos por considerar que no son relevantes):</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_n=1+(n-1)\cdot{\frac{n}{2}}$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Comprobamos que efectivamente $$a_{7000}=24496501$$, es decir casi 24 millones y medio.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><i>1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?</i></span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bien veamos en que an tocamos la tecla <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">DO</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La tocamos en $$a_1, a_7, a_8, a_{14}, a_{15}, a_{21}, a_{22}, ...$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Luego obtenemos otra progresión aritmética de términos:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">1, 7, 8, 14, 15, 21, 22, ...</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vemos que para hallar el término general habrá que dividir la progresión en dos progresiones, una de términos pares e impares, entonces</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Impares:</span></b> <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">1, 8, 15, 22,...</span></b> cuyo término general es $$b_n=7\cdot{n}-6$$ (siendo n impar)</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Pares:</span></b> <b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">7, 14, 21,...</span></b> que son los múltiplos de 7, luego $$b_n=7\cdot{n}$$ (siendo n par)</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto como hemos tocado 7000 teclas, es obvio que tendremos 1000 teclas por cada progresión anterior, de hecho la tecla 7001 será otro DO. Por lo que en total hemos tocado <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">2.000 teclas DO</span></b>.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Progresión Impar: $$7000=7\cdot{n}-6\Longrightarrow{n=1000.85}$$</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Progresión Par: $$7000=7\cdot{n}\Longrightarrow{n=1000}$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Con un razonamiento análogo al anterior pero para las teclas <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">RE, FA y SI</span></b>, obtenemos que tocamos:</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">2.000 teclas RE</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">2.000 teclas FA</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">1.000 teclas SI</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Luego <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">nunca tocamos las teclas MI, SOL y LA</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una forma de verlo más sencilla es ver que teclas vamos tocando y si hay algún tipo de secuencia sonara que se repita, para ello vamos colocando las distintas teclas pulsadas, usando la progresión aritmética que vimos antes:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_1=1(DO)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_2=2(RE)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_3=4(FA)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_4=7(SI)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_5=11(FA)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_6=16(RE)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_7=22(DO)$$</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_8=29(DO)$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_9=37(RE)$$ </span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_{10}=46(FA)$$ </span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_{11}=56(SI)$$ </span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_{12}=67(FA)$$ </span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_{13}=79(RE)$$ </span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a_{14}=92(DO)$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Luego vemos que se va repitiendo una secuencia de 7 notas: </span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">DO-RE-FA-SI-FA-RE-DO</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">DO-RE-FA-SI-FA-RE-DO</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">........</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-weight: normal;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">DO-RE-FA-SI-FA-RE-DO</span></b></span></span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">que se repetirá 1000 veces, por lo que <b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">no tocaremos nunca el MI, SOL, LA.</span></b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Aportaciones:</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Destacar la aportación de <b style="color: #660000;">rovber</b>, el cuál nos muestra como solucionar el problema usando <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular"><b>Aritmética Modular</b></a>: </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una representación adecuada sería codificar las notas así:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">0-DO, 1-RE, 2-MI, 3-FA, 4-SOL, 5-LA, 6-SI</span></b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Con esta codificación se puede emplear estas dos estrategias:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">1- Utilizar un anillo módulo 7 </span></i>.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">2- Emplear Base 7 para escribir los números.</span></i></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vamos a probar con la primera estrategia:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La sucesión inicialmente sería la siguiente: $$0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,...$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Si empleamos aritmética módulo 7 se convertiría en: $$0,1,3,6,3,1,0,0,1,3,...$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hay que observar que las diferencias (módulo 7) serían estas: $$+1,+2,+3,+4,+5,+6,+0,+1,+2,...$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vemos que esta sucesión forma un ciclo de 7 elementos $$(0,1,3,6,3,1,0)$$, ya que el octavo elemento es exactamente idéntico al primero al tener el mismo valor (0) y la misma diferencia con el siguiente (+1).</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Así que sabiendo que $$(DO,RE,FA,SI,FA,RE,DO)$$ se repetirán indefinidamente, podemos concluir:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">1-Las notas MI, SOL y LA no aparecerán nunca.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">2- Cuando hayamos pulsado 7.000 notas, habremos completado 1.000 ciclos. Como la nota DO aparece 2 veces en cada ciclo, tendremos 2.000 veces la nota DO.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">PD-</span></b> <i><span class="Apple-style-span" style="color: #444444;">La demostración empleando Base 7 sería similar. La sucesión sería: 0,1,3,6,13,21,30,40,51,63,... La cifra de las unidades sería la nota, mientras que el resto representarían la octava.</span></i></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;"><b>SOLUCIÓN "EL </b></span></span><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PAÍS": </b><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Solucion/problema/piano/sorpresa/musical/elpepusoc/20110503elpepusoc_7/Tes">"<b>Solución al problema del piano... con sorpresa musical</b>"</a></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/7mMcSYsGRM4?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-76515890220738323052011-04-25T14:57:00.005+02:002011-04-29T20:30:51.297+02:00Una Cuestión de Sombreros<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Javier Lázaro</span></b>, estudiante de 4º de Matemáticas en la <a href="http://www.unizar.es/"><b>Universidad de Zaragoza</b></a>, presenta el <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html">sexto desafío</a> de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 25 (00.00 horas del martes). </span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Nota importante:</b> Para aclarar todas las dudas sobre el problema y en atención a nuestros lectores sordos incluimos también el enunciado del problema por escrito. Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13...). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Atención: Para aclarar algunas dudas que han surgido ya entre los lectores. Los prisioneros no pueden hacer señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz... deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/embwyXycNvY?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: x-large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b style="color: #274e13;">PISTA: </b>Número de sombreros par o impar</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vayamos ya a la solución enviada:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primero decir que no se especifica si los presos sabrán el número de sombreros de cada color. Dependiendo de esto hay dos casos:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Caso A)</span></b> Los presos no saben cuantos sombreros hay de cada color.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En este caso se pueden salvar <span class="Apple-style-span" style="color: #0c343d;"><b><i>29 presos al 100%</i></b></span> y <b><span class="Apple-style-span" style="color: #0c343d;"><i>el primero tendrá un 50% de posibilidades de salvarse</i></span></b>.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Estrategia:</b> El primero dirá Blanco si el número de sombreros blancos que ve es par y negro si el número de sombreros blancos que ve es impar. Por lo tanto los demás presos van a saber que hay un número de sombreros blancos pares si ha dicho blanco e impares si ha dicho negro. Por lo tanto a partir del segundo prisionero sólo hay que contar cuantos sombreros blancos quedan. Por ejemplo si el primero prisionero ha dicho blanco, es que hay un número par de sombreros blancos, si el segundo prisionero ve un número par de sombreros blancos su sombrero será negro, si ve un número impar, su sombrero será blanco. El tercer preso cuenta con la información del primero y del segundo, sabiendo si los sombreros blancos que quedan son pares o impares. El único preso que se la juega es el primero.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Caso B)</span></b> Los presos saben cuantos sombreros hay de cada color.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se salvan todos, basta con ver cuantos sombreros de cada color hay delante y cuántos detrás (los van diciendo los presos anteriores).</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN DE "EL PAÍS"</span></b>: <span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><b><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/salvar/seguro/29/presos/elpepusoc/20110426elpepusoc_4/Tes">"Cómo salvar seguro a 29 presos"</a></b></span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><br />
</span></span><br />
</div></div><iframe title="YouTube video player" width="90%" height="90%" src="http://www.elpais.com/videos/sociedad/salvan/29/presos/elpvidsoc/20110426elpepusoc_1/Ves/" frameborder="0" allowfullscreen></iframe><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-91547823540592833452011-04-15T08:32:00.008+02:002011-04-25T14:46:19.169+02:00Un PAÍS de Palillos<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El quinto <b><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">desafío</span></a></b> de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>, lo presenta <a href="http://www.lecturalia.com/autor/8531/fernando-corbalan"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #20124d;">Fernando Corbalán</span></b></a>, catedrático de matemáticas y subdirector de <a href="http://www.divulgamat.net/"><b>DivulgaMAT</b></a>. Hay hasta las 00.00 horas del martes 19 de abril para presentar las soluciones. En esta ocasión el reto consta de dos preguntas. Las soluciones deben enviarse al correo problemamatematicas@gmail.com. </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como esta semana hay dos preguntas habrá dos premios. </span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Para aclarar cualquier duda y en atención también a nuestros lectores sordos incluimos por escrito el problema por escrito.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Presentamos dos juegos y se trata de encontrar qué estrategia ganadora tienen, esto es, el procedimiento para ganar siempre, por muy hábil que sea nuestro rival. La estrategia puede ser del jugador que mueve primero o del segundo, eso también hay que averiguarlo. Obviamente, si el primer jugador tiene estrategia ganadora, no la tendrá el segundo. Para ambos juegos formamos la palabra PAIS con palillos de la forma en que se ve la imagen de arriba o el vídeo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Primer juego:</span></i></b> Por turnos, cada jugador retira uno, dos o tres palillos del dibujo. Gana el que retira el último palillo, esto es, el que deja la mesa vacía.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">Segundo juego:</span></i></b> Por turnos, los jugadores retiran el número que quieran de palillos pero siempre de la misma letra cada vez (de la P, de la A, de la I o de la S). Gana también el que retira el último palillo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se trata, como decíamos de hallar la estrategia ganadora en ambos juegos (el modo de ganar seguro) precisando si la tiene el jugador que abre el juego o el segundo</span>.</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/fJoRitq-12s?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los juegos de esta semana, me han parecido uno de los retos más sencillos hasta el momento. La solución enviada seguramente se publique con retraso, ya sabéis me voy de vacaciones a la playa. </span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PISTA</b>: Hay que tener en cuenta sólo el número de palillos de cada letra.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bueno una vez de vuelta de vacaciones, veamos la respuesta enviada. Pero antes vamos a comentar unas cuestiones.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los juegos aquí propuestos, son variantes del juego egipcio <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Nim_(juego)">NIM</a>: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Nim">Juego del NIM</a> <span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">(Inglés)</span>.</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bien vamos ahora con la respuesta enviada:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primero debemos darnos cuenta que no es importante la palabra escrita con palillos, si no el número de palillos que usamos para escribir cada letra. En nuestro caso:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\begin{matrix}{P}&{\textrm{5 Palillos}}\\{A}&{\textrm{5 Palillos}}\\{I}&{\textrm{4 Palillos}}\\{S}&{\textrm{5 Palillos }}\\{TOTAL}&{\textrm{19 Palillos }}\end{matrix}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>PRIMER JUEGO:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Para este primer juego, basta ver que tenemos que hacer que nuestro adversario tenga 4 palillos en su último turno, así retire 1, 2 o 3 siempre retiraremos nosotros el último palillo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Para ello la estrategia ganadora es para el primer jugador en jugar, y consiste en dejar al segundo jugador múltiplos de 4. Esto es, el primer jugador debe retirar 3 palillos cualesquiera, de forma que al segundo jugador le queden 16 palillos:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tendremos entonces 3 casos:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">a) Si el segundo jugador retira 1 palillo, en el segundo turno el primer jugador debe retirar otros 3</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">b) si el segundo jugador retira 2 palillos, en el segundo turno el primer jugador debe retirar 2 palillos</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">c) si el segundo jugador retira 3 palillos, en el segundo turno el primer jugador debe retirar 1 palillo</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">De tal forma que al principio del segundo turno del segundo jugador habrá siempre 12 palillos. Procedemos de la misma manera que en los tres casos anteriores, hasta que en el tercer turno el segundo jugador se encuentra 8 palillos. Por último volvemos a proceder de igual forma hasta que en el cuarto y último turno el segundo jugador se encuentra siempre con 4 palillos, por lo que retire los que retire, siempre gana el primer jugador.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como caso general si tuviéramos n palillos, y podemos retirar entre 1 y m palillos, con m<n, bastará con dejar al jugador contrario múltiplos de (m + 1). Si n es múltiplo de (m+1), dejaremos que empiece el otro jugador, si no es múltiplo empezaremos nosotros, y dejaremos al otro jugador con un múltiplo de (m+1)</span></div><br />
<div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>SEGUNDO JUEGO:</b></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En este caso es como colocar los palillos en filas, y que se puedan retirar tantos palillos como se quiera pero sólo de una fila. Colocamos nuestro palillos:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\begin{matrix}{P}&{IIIII}\\{A}&{IIIII}\\{I}&{IIII}\\{S}&{IIIII}\end{matrix}$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Lo primero que debemos hacer es escribir en base 2 el número de palillos que hay en cada fila. Colocamos tal como se ve abajo las cantidades en binaria una debajo de otras y sumamos cada una de las columnas en base 10. (En nuestro caso suman 403):</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{4}&{0}&{3}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En este caso también el primero que empieza tiene estrategia ganadora. Para ganar cada vez que tenemos que quitar palillos, tenemos que conseguir que la suma de todas las columnas sea un número par o 0.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En esta caso tendremos que conseguir transformar la suma de la tercera columna (3) a 2 (porque sólo podemos quitar palillos de una sola fila). Luego bastará con quitar un palillo de cualquiera de las letras que contienen 5 palillos, quedando por ejemplo:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{4}&{0}&{2}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Será ahora el turno del segundo jugador, quite los palillos que quite de cualquiera de las filas nunca podrá dejar todas las columnas con suma par, por lo que siempre dejara una o más columnas con suma impar que nosotros transformaremos a par. En nuestro caso por ejemplo imaginemos que el otro jugador decide quitar palillos de la cuarta fila.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tendremos 5 casos:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">a) quita 1 solo palillo:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{4}&{0}&{1}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nos bastará con quitar un palillo de la segunda letra, para volver a tener todas las columnas con suma par:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{4}&{0}&{0}\end{matrix}}$$</span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">b) quita 2 palillos:</span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{III}&{0}&{1}&{1}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{3}&{1}&{2}\end{matrix}}$$</span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nos bastará con quitar dos palillos en la primera letra o fila 1</span></span></div></div><br />
<div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{II}&{0}&{1}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{III}&{0}&{1}&{1}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{2}&{2}&{2}\end{matrix}}$$</span></span></div><br />
<div><div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">c) quita 3 palillos:</span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{II}&{0}&{1}&{0}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{3}&{1}&{1}\end{matrix}}$$</span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nos bastará con quitar 3 palillos en la fila 2:</span></span></span></div></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{II}&{0}&{1}&{0}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{II}&{0}&{1}&{0}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{2}&{2}&{0}\end{matrix}}$$</span></span></div><br />
<div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">d) quita 4 palillos:</span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{I}&{0}&{0}&{1}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{3}&{0}&{2}\end{matrix}}$$</span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nos bastará con todos los palillos de alguna de las filas que tienen 4:</span></span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></span></span></div></div><br />
<div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{}&{0}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{I}&{0}&{0}&{1}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{2}&{0}&{2}\end{matrix}}$$</span></span></span></div><br />
<div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">5) quita 5 palillos:</span></span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{IIIII}&{1}&{0}&{1}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{}&{0}&{0}&{0}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{3}&{0}&{1}\end{matrix}}$$</span></span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nos bastará con todos los palillos de la fila 2</span></span></span></span></div></div><br />
<div style="font-family: 'Times New Roman'; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{\begin{matrix}{P}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{A}&{}&{0}&{0}&{0}\\{I}&{IIII}&{1}&{0}&{0}\\{S}&{}&{0}&{0}&{0}\end{matrix}}{\begin{matrix}{TOTAL}&{}&{2}&{0}&{0}\end{matrix}}$$</span></span></span></span></div><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como vemos quita los palillos que quite, siempre se le puede volver a dejar una suma par. El procedimiento es el mismo para los turnos siguientes. La estrategia ganadora por tanto será hacer que nuestro rival tenga siempre una suma par en cada columna.</span></span></span></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">SOLUCIÓN "EL PAÍS"</span></b>: <b>"<a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/ganar/siempre/palillos/elpepusoc/20110419elpepusoc_5/Tes">Cómo ganar siempre a los palillos</a>"</b> <div style="font-family: 'Times New Roman';"></div></span></span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/R5Mh2deDqqg?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div></div></div></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-18026352578742779322011-04-10T18:48:00.007+02:002011-04-15T08:18:19.556+02:00UN RELOJ DE DOS COLORES<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veamos aunque un poco tarde el reto de esta semana:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Elisa Lorenzo García</span></b>, estudiante de doctorado de la<b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><a href="http://www.upc.edu/"> Universidad Politécnica de Cataluña</a></span></b>, plantea el cuarto <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">desafío</span></b></a> matemático de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>. Envía tu solución al correo problemamatematicas@elpais.es hasta las 00.00 horas del martes 12 de abril. </span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nota: Para evitar confusiones y permitir también la participación de los lectores sordos, incluimos aquí el enunciado del problema por escrito.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se considera un reloj con sus 12 números en torno a una circunferencia: 1, 2, ..., 12. Se pintan de azul o rojo cada uno de los 12 números de modo que haya seis pintados de azul y seis de rojo. El problema consiste en demostrar, que, independientemente del orden en que se hayan pintado, siempre existirá una posible recta que divida al reloj por la mitad, dejando en cada lado seis números, tres pintados de rojo y tres pintados de azul.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/S0oTwm8pNLA?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La solución enviada (buena o mala) se publicará una vez finalice el plazo de envío. No obstante comentar una serie de cuestiones.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En primer lugar que ha sido el problema de los cuatro que más me ha costado resolver, pues en principio se puede abordar de un montón de formas diferentes, de las cuales yo he abordado casi todas, vemos:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">a) En un principio pensé que se podría asimilar el reloj a un grafo, y que quizás podríamos crear dos cadenas, una con cada color, aplicando el "<a href="http://personal.us.es/almar/docencia/practicas/localizacion/tema1.html#Método de la cadena"><b>Método de la Cadena</b></a>" propuesto por <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Lee</span></b> y <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Preparata</span></b> en 1978. Demostrando que la intersección de dos cadenas siempre forma una recta. Pero reconozco que no he sido capaz.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">b) A continuación con la misma idea de representar el problema por medio de grafos, me acordé de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Ramsey"><b>Teoría de Ramsey</b></a>, y su <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_amistad"><b>Teorema de la Amistad</b></a>. En este caso también tenemos un grafo hamiltoniano K6,6, y mediante el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Kuratowski"><b>Teorema de Kuratowski</b></a>, pasar a un grafo K3,3 y aplicar <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Ramsey</span></b>. Pero también me resultaba bastante complicado.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">c) También como no he intentado resolverlo por <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Bolzano</span></b>, intentando aplicar su <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bolzano"><b>Teorema</b></a>, para matemática discreta, aunque sabemos que sólo es válido para funciones continuas. El problema se puede resolver de forma general (para 2n números, n de cada color). Si partiendo de una distribución cualquiera y de una recta cualquiera, en uno de los lados tienes un nº de números de cada color, ¿cuantos números de cada color habrá al otro lado de la recta?. ¿Se puede asegurar entonces que hay una posición de la recta en la cual se cumple el enunciado?. De hecho he realizado una demostración, pero he de reconocer que no estaba seguro de que no contuviera un error.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">d) Por supuesto lo intente por combinatoria, pero resultaba aún más complicado. Aunque al final creo haber encontrado una posible solución aplicando el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar" style="font-weight: bold;">Principio del Palomar</a>. Pero aún así no me convencía del todo.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">e) Aplique simetrías y geometría, dividiendo la circunferencia en 4 cuadrantes, pero salían demasiados casos (aunque al final creo haber descubierto que sólo existen 10 distintos, salvo simetrías y reflexiones)</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">f) He leído que hay quién lo ha demostrado aplicando la versión discreta del <a href="http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/reportes/pdf/reporte4.pdf"><b>Teorema de Borsuk-Ulam</b></a> en dimensión 1, pero me sigue pareciendo complicar las cosas.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">e) Al final he hecho una mezcla de alguna de las cosas anteriores y me ha salido algo bastantes sencillo. Aunque también se me ocurrió hacerlo por sucesiones, etc.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN ENVIADA:</b></span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dividimos el Reloj en dos partes iguales con una recta aleatoria $$r$$. En cada una de las partes tendremos 6 números. Llamamos $$S$$ a una de las partes e $$I$$ a la otra. Así mismo llamamos $$R$$ al número de números de color rojo de $$S$$ y $$R_1$$ al número de números de color rojo de $$I$$. Igualmente llamamos $$A$$ al número de números de color Azul de $$S$$ y $$A_1$$ al número de números de color azul de $$I$$.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se cumple que:</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$A+R=6$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$A_1+R_1=6$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$A+A_1=6$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$R+R_1=6$$</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En $$S$$ encontraremos una distribución del tipo $$A-R$$, teniendo en $$I$$ una distribución complementaria $$A_1-R_1$$ para poder cumplir las ecuaciones anteriores. Veamos la siguiente tabla:</span></div><br />
<div style="text-align: center;">$$\boxed{\begin{matrix}{A-R}&{A_1-R_1}\\{6-0}&{0-6}\\{5-1}&{1-5}\\{4-2}&{2-4}\\{3-3}&{3-3}\\{2-4}&{4-2}\\{1-5}&{5-1}\\{0-6}&{6-0}\end{matrix}}$$</div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Consideremos ahora girar la recta $$r$$ un ángulo de 30º, y pasar de $$S$$ a $$S_1$$ (lo que equivale a girar la recta un número del reloj). Donde $$S\cap S_1=\textrm {5 elementos}$$. Entonces en $$S_1$$ podemos tener dos casos:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>A)</b> Que obtengamos la misma distribución (si al girar obtenemos un número del mismo color que el que hemos perdido. Ejemplo: si tengo 4-2, y al girar perdemos 1 rojo, pero por el otro lado ganamos 1 rojo, seguimos teniendo 4-2).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>B)</b> Que obtengamos la distribución inmediatamente superior o inmediatamente inferior (si al girar conseguimos un número de un color distinto al que perdemos. Ejemplo: si tengo 4-2, y al girar gano 1 azul y pierdo 1 rojo, paso a 5-1; pero si gano 1 rojo y pierdo 1 azul paso a 3-3).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ahora bien si giramos $$r$$ 180º, entonces pasamos de $$S$$ a $$I$$, puesto que sabemos que $$I$$ tiene distribución complementaria a $$S$$, y pasaremos de las distribución $$A-R$$ a la distribución $$A_1-R_1$$.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bien si tenemos una distribución tipo <span class="Apple-style-span" style="color: blue;">3-3</span> no tendremos que hacer nada, pues es la distribución buscada. </span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Si por el contrario tenemos cualquiera de las otras distribuciones, con sólo girar 6 veces en un mismo sentido (180º) hemos comprobado que pasamos de una distribución a su complementaria, por lo que como en cada giro de 30º sólo podemos tener uno de los casos anteriores (o la misma distribución o la inmediatamente superior o inferior), obligatoriamente pasaremos por la distribución 3-3 buscada</span>. </span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>NOTA</b>: Podemos asegurar que como mínimo existe una recta que divide a la circunferencia en 2 partes con tres números pintados de rojo y tres números pintados de azul. Pero puede existir más de una recta. De hecho podemos tener hasta 12 rectas que será el caso en que los números pares estén de un color y los impares de otro, elijamos la recta que elijamos tendremos dos mitades que cumplen la condición. Cuanto más mezclados estén los números más rectas existirán.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>NOTA 2</b>: Una vez encontrada la recta adecuada con distribución 3-3, siempre podremos dibujar dos triángulos que unan cada uno de los números del mismo color, un triángulo de color rojo, cuyos vértices son los números de color rojo, y un triángulo de color azul, cuyos vértices son de color azul. Por combinatoria sabemos que: </span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$C_n^p=\displaystyle\binom{n}{p}=\frac{n!}{(n-p)!\cdot{p!}}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vamos a ver cuántos triángulos distintos podemos cosntruir con una de las semicircunferencias:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$C_6^3=\displaystyle\binom{6}{3}=\frac{6!}{(6-3)!\cdot{3!}}=20$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Luego existen sólo 20 posibles triángulos distintos, es decir existen sólo 20 soluciones distintas para cada color (y sólo 10 si no tenemos en cuenta el color, sino que simplemente ambos triángulos son de dos colores diferentes, ya que al dibujar uno de los triángulos, necesariamente quedará definido el segundo triángulo con los tres vértices que quedan, triángulo que a su vez será otra de las soluciones buscadas). Todas las demás soluciones serán simetrías o reflexiones de las vistas. <span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Veamos las 10 soluciones posibles </span>($$x$$ representa un color y $$\circ{}$$ él otro color):</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\boxed{\begin{matrix}{\circ{}}&{\circ{}}&{x}&{x}&{x}&{\circ{}}\\{\circ{}}&{x}&{\circ{}}&{x}&{x}&{\circ{}}\\{\circ{}}&{x}&{x}&{\circ{}}&{x}&{\circ{}}\\{\circ{}}&{x}&{x}&{x}&{\circ{}}&{\circ{}}\\{x}&{\circ{}}&{\circ{}}&{x}&{x}&{\circ{}}\\{x}&{\circ{}}&{x}&{\circ{}}&{x}&{\circ{}}\\{x}&{\circ{}}&{x}&{x}&{\circ{}}&{\circ{}}\\{x}&{x}&{\circ{}}&{\circ{}}&{x}&{\circ{}}\\{x}&{x}&{\circ{}}&{x}&{\circ{}}&{\circ{}}\\{x}&{x}&{x}&{\circ{}}&{\circ{}}&{\circ{}}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>SOLUCIÓN DE "EL PAÍS": <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Siempre/hay/recta/cualquier/reloj/elpepueco/20110412elpepusoc_11/Tes">Siempre hay una Recta</a></b></span></div><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/8zngm6vcw28?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-24959801162340640652011-04-02T10:53:00.014+02:002011-04-12T09:09:23.077+02:00Un Cuadrado Mágico de Productos<div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><a href="http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/" style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;" target="blank"><b>Javier Cilleruelo</b></a>, profesor de la <a href="http://www.uam.es/ss/Satellite/es/home" style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;" target="blank"><b>Universidad Autónoma de Madrid</b></a> y miembro del <a href="http://www.icmat.es/es/institucion/acercade" style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;" target="blank"><b>Instituto Ciencias Matemáticas</b> </a>(ICMAT), plantea el tercer <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">desafío</span></a> matemático de <a href="http://www.elpais.com/"><b>EL PAÍS</b></a>. Manda tu solución a <a href="mailto:problemamatematicas@elpais.es" style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;">problemamatematicas@elpais.es</a> antes de las 00.00 horas del próximo martes 5 de abril. </span></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><b style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">Nota importante</b>: Por si queda alguna duda de la formulación del problema y a petición también de los lectores sordos, incluimos aquí el enunciado por escrito.</span></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">El problema consiste en completar un cuadrado de tres por tres, donde ya se ha escrito el 15 en la posición central, con otros ocho números enteros positivos, todos ellos distintos entre sí y de tal manera que al multiplicar los tres números de cada fila, de cada columna y de cada una de las dos diagonal obtengamos, en todos los casos, el mismo resultado.</span></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">No hace falta explicar cómo se ha encontrado. Es suficiente con enviar el cuadrado de la manera siguiente, sustituyendo las cruces por los números del cuadrado:</span></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Fila 1: x x x</span></div></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Fila 2: x 15 x</span></div></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Fila 3: x x x</span></div></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Cualquier cuadrado que cumpla las condiciones del problema (recordad que los 9 números deben de ser enteros positivos y distintos) será considerado una respuesta correcta.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/RboX8M0FscY?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div style="font: normal normal normal 1.3em/1.3em Arial, Helvetica, sans-serif; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><b><br />
</b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">La solución al problema se publicará cuando termine el plazo de presentación y antes de la publicación de la misma por "<b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">El País</span></b>". Es un problema mucho más fácil que el anterior, por lo que habrá mucha gente que sea capaz de resolverlo. Vamos a conocer un poco más sobre los <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico"><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">cuadrados mágicos</span></a></b>, que tienen su origen en <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/China"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">China</span></a>.</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Los chinos han sido siempre muy aficionados a los diseños armónicos, aritméticos y geométricos, y no es nada sorprendente que el primer ejemplo registrado de cuadrado mágico haya aparecido en China. Este es el cuadrado:</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{4}&{9}&{2}\\{3}&{5}&{7}\\{8}&{1}&{6}\end{matrix}}$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">El cuadrado les fue comunicado a los hombres por una tortuga del río Lo, según la leyenda, en los días del <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">emperador Yii</span></b>, famoso ingeniero hidráulico. El interés por este tipo de modelos es lo que llevó al autor de los "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">Nueve Capítulos</span></b>" (Uno de los más famosos libros matemáticos chinos de la antigüedad con 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, ingeniería, impuestos, ...) a resolver el sistema de ecuaciones lineales:</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$3x+2y+z=39$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$2x+3y+z=34$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$x+2y+3z=26$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">mediante operaciones sobre las columnas de la matriz</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{1}&{2}&{3}\\{2}&{3}&{2}\\{3}&{1}&{1}\\{26}&{34}&{39}\end{matrix}}$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">para reducirla a la forma:</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{0}&{0}&{3}\\{0}&{5}&{2}\\{36}&{1}&{1}\\{99}&{24}&{39}\end{matrix}}$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">donde esta segunda forma representa el sistema de ecuaciones:</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small;"></span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$36z=99$$</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$5y+z=24$$</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$3x+2y+z=39$$</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><br />
</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">de la cual pueden obtenerse fácilmente, y de una manera sucesiva, los valores de $$x,y,z$$. Por lo tanto los cuadrados mágicos están en el origen de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.</span></span></div><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><b>Otra curiosidad</b>: En la obra de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durero"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Durero</span></b></a> (contemporáneo de <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci"><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Leonardo</span></a></b>), puede apreciarse cierta influencia de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Pacioli</span></b></a>, especialmente en el grabado de <b><span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">1514</span></b> titulado <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_I"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">Melancolía</span></b></a>, en el que aparece de una manera prominente un cuadrado mágico. </span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{16}&{3}&{2}&{13}\\{5}&{10}&{11}&{8}\\{9}&{6}&{7}&{12}\\{4}&{15}&{14}&{1}\end{matrix}}$$</span></div><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Este cuadrado mágico suele considerarse como el primero que aparece en Occidente, pero <b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">Pacioli</span></b> había dejado un manuscrito inédito titulado "<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">De viribus quantitatis</span></b>" (manuscrito es conservado en la <span class="Apple-style-span" style="color: blue;">Biblioteca Universitaria de Bolonia (Codex n. 250)</span>. Ha quedado inédito hasta su publicación en <span class="Apple-style-span" style="color: #274e13;">1997</span>) en el que trata ya de tales cuadrados.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><b style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;">NOTA: <a href="http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/" style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-decoration: none;" target="blank">Javier Cilleruelo</a></b>, publicó hace un tiempo un artículo muy interesante sobre Cuadrados Mágicos: <b><a href="http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=347"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">El Diablo de los Números</span></a></b>.</span></div><div style="text-align: justify;"><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><b style="color: #274e13;">CUADRADOS MÁGICOS DE SUMAS: </b>Vamos a ver un ejemplo con cuadrados mágicos de sumas:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Sea el cuadrado mágico siguiente:</span><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{A}&{B}&{C}\\{D}&{E}&{F}\\{G}&{H}&{I}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Para que sea un cuadrado mágico de sumas, se tiene que cumplir que:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"> $$A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G$$</span></div></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Tomamos el número central $$E$$ por estar más veces representado. Entonces:</span></div><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$D+F=B+H=A+I=C+G$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Ahora bien, sabemos que: $$(D+E+F)+(B+E+H)=(A+B+C)+(G+H+I)$$, luego:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$D+F+2E=A+C+G+I$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Pero $$D+F=A+I$$, por lo que: $$2E=C+G$$</span></div></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">¿Cuánto vale entonces la suma buscada de columnas, filas o diagonales?. Tomemos la diagonal $$CEG$$. Su suma será: $$C+E+G$$, pero $$C+G=2E$$. Por lo tanto la suma buscada vale $$E+2E=3E$$. Es decir el triple del valor del número $$E$$ central.</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Operando con las igualdades anteriores, y sabiendo que los números no se pueden repetir, y llamando ahora al número central $$A$$, podemos llegar a cuadrados como este:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{A+B}&{A-(B+C)}&{A+C}\\{A-(B-C)}&{A}&{A+(B-C)}\\{A-C}&{A+(B+C)}&{A-B}\end{matrix}}$$</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Si por ejemplo, tomamos $$B=1$$ y $$C=3$$, obtenemos el siguiente cuadrado mágico:</span></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{A+1}&{A-4}&{A+3}\\{A+2}&{A}&{A-2}\\{A-3}&{A+4}&{A-1}\end{matrix}}$$</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Si el problema nos pidiera ahora resolver un cuadrado mágico de sumas, cuyo número central es 15; aplicando el resultado anterior obtenemos:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{15+1}&{15-4}&{15+3}\\{15+2}&{15}&{15-2}\\{15-3}&{15+4}&{15-1}\end{matrix}}$$</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{16}&{11}&{18}\\{17}&{15}&{13}\\{12}&{19}&{14}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Como vemos se cumple que cualquier fila, columna o diagonal es $$3A=3\cdot{15}=45$$</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><b>SOLUCIÓN:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Esta es la solución presentada:</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Sea el siguiente cuadrado mágico multiplicativo:</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{A}&{B}&{C}\\{D}&{E}&{F}\\{G}&{H}&{I}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Evidentemente: $$ABC=DEF=GHI=ADG=BEH=CFI=AEI=CEG$$. Tomemos todos los productos que contengan al número central $$E$$:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$DEF=BEH=AEI=CEG$$, entonces $$DF=BH=AI=CG$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Además $$(DEF)(BEH)=(ABC)(GHI)$$, $$DFBHE^2=ABCGHI$$. Simplificando obtenemos: $$DFE^2=ACGI$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Pero hemos visto que $$AI=DF$$, por lo que sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior obtenemos que $$E^2=CG$$, es decir el cuadrado del número central es igual al producto de los dos números extremos de una de las diagonales.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">El producto de la diagonal anterior será: $$CEG=E\cdot{E^2}=E^3$$. Luego el producto de todas las filas, columnas o diagonales valdrá $$E^3$$.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">En nuestro caso $$E=15$$. Luego el producto buscado es $$E^3=15^3=3375$$. Por lo que $$CG=\frac{3375}{15}=225=DF=BH=AI$$.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Los números enteros positivos buscados estarán entre los factores positivos de 225. Factorizando 225 obtenemos $$F(225)=\left\{{1,3,5,9,15,25,45,75,225}\right\}$$. Evidentemente el número 15 no lo podemos volver a usar, luego nos quedan los 8 números restantes, que son los que buscamos $$\left\{{1,3,5,9,25,45,75,225}\right\}$$.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Para colocar estos números debemos tener en cuenta que el producto de dos números simétricos respecto al centro debe ser 225, luego tendremos los pares $$\left\{{1,225}\right\};\left\{{3,75}\right\};\left\{{5,45}\right\};\left\{{9,25}\right\}$$. Una vez obtenidos los números y sus simétricos, existen varias formas de colocarlos. Veamos los 8 cuadrados mágicos de productos posibles:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><b>Cuadrado 1: </b></span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{3}&{225}&{5}\\{25}&{15}&{9}\\{45}&{1}&{75}\end{matrix}}$$</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Por rotación sucesivas de 90º obtenemos los <b>Cuadrados 2, 3 y 4</b>:</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{5}&{9}&{75}\\{225}&{15}&{1}\\{3}&{25}&{45}\end{matrix}}$$</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{75}&{1}&{45}\\{9}&{15}&{25}\\{5}&{225}&{3}\end{matrix}}$$</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{45}&{25}&{3}\\{1}&{15}&{225}\\{75}&{9}&{5}\end{matrix}}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Ahora partiendo del Cuadrado 1, hacemos una reflexión, con sólo intercambiar las columnas 1 y 3. Obtendremos así el <b>Cuadrado Mágico 5</b>: </span><br />
<br />
<div style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 21px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{5}&{225}&{3}\\{9}&{15}&{25}\\{75}&{1}&{45}\end{matrix}}$$</span></span></div><br />
<div style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 21px; text-align: justify;"><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Por rotación sucesivas de 90º obtenemos los <b>Cuadrados 6, 7 y 8</b>:</span></span></div></div><br />
<div style="text-align: center;"><div style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 21px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{3}&{25}&{45}\\{225}&{15}&{1}\\{5}&{9}&{75}\end{matrix}}$$</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{45}&{1}&{75}\\{25}&{15}&{9}\\{3}&{225}&{5}\end{matrix}}$$</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{75}&{9}&{5}\\{1}&{15}&{225}\\{45}&{25}&{3}\end{matrix}}$$</span></span></div><br />
<div style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 21px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Por supuesto podríamos haber resuelto el problema simplemente usando una de las fórmulas de cuadrados multiplicativos de Internet:</span></span></div><br />
<div style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 21px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">$$\boxed{\begin{matrix}{a}&{a^2\cdot{b^2}}&{b}\\{b^2}&{a\cdot{b}}&{a^2}\\{a^2\cdot{b}}&{1}&{a\cdot{b^2}}\end{matrix}}$$</span></span></div></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Solución de "El País": <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Cuadrado/magico/productos/solucionado/elpepusoc/20110405elpepusoc_2/Tes">Solucionado</a>.</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span></b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/MPYhVaWIzsk?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div></div></div></div></div></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-2083500936155943572011-03-26T12:58:00.018+01:002011-04-02T10:54:18.463+02:00Una hormiga amenazada<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;"><b style="color: #20124d;">Fernando Blasco</b>, profesor de la <b><a href="http://www.upm.es/institucional" target="blank">Universidad Politécnica de Madrid</a></b>, presenta nuestro segundo <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/desafios-matematicos-de-el-pais.html"><b><span class="Apple-style-span" style="color: purple;">desafío matemático</span></b></a>. Coincidiendo con el <b><a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española.</a></b></span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;"> </span></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;"> <b>NOTA IMPORTANTE</b>: Por si queda alguna duda de la formulación del problema y a petición también de los lectores sordos, incluimos aquí el enunciado por escrito. Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. </span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;">Parte del vértice marcado con el <b style="color: blue;">número 1</b> (ver dibujo del profesor <b style="color: #20124d;">Blasco</b> en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con <b>probabilidad </b>$$\frac{1}{3}$$ de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad </span>$$\frac{1}{3}$$ de tomar cada una de las rutas. </div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;"> Los <b style="color: blue;">vértices 7 y 8</b> (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. </span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;">a) ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? </span></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;">b) ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? </span></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: small;">c) ¿Y en el 8? </span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/MJO49owjETs?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="color: #274e13; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;"><b><span style="font-size: large;">SOLUCIÓN:</span></b></div><br />
<div style="color: black; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">Al igual que en el problema anterior veamos unos conceptos previos:<br />
<br />
En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica">estadística</a>, y específicamente en la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad">teoría de la probabilidad</a>, un <b style="color: blue;">Proceso Estocástico</b> es un concepto matemático que sirve para caracterizar; es una sucesión de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria" title="Variable aleatoria">variables aleatorias</a> (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad">distribución de probabilidad</a> y, entre ellas, pueden estar <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Autocorrelaci%C3%B3n" title="Autocorrelación">correlacionadas</a> o no.</div><br />
<div style="color: black; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">Como hemos comentado un <b style="color: blue;">proceso estocástico</b> recorre en el tiempo una sucesión de estados. El conjunto todos los posibles estados se llama espacio de estados. Los estados están representados por una variable continua y las transiciones de un estado al siguiente se pueden producir en todo momento, pero para determinar parámetros estadísticos es necesario discretizar el proceso, de forma que el sistema tenga una cantidad finita o infinita numerable estados y el tiempo se mida en un conjunto finito o infinito numerable de instantes.</div><br />
<div style="color: #274e13; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="color: black;">Los procesos estocásticos se representan por medio de sus correspondientes </span><b style="color: blue;">grafos</b><span style="color: black;"> y los estados posibles por un pequeño círculo en cuyo interior se sitúa el nombre del estado. Si es posible una transición del </span><b style="color: black;">estado i </b><span style="color: black;">al <b>estado k</b>, se traza una <b>flecha desde i hasta k</b>, acompañada de la probabilidad de transición $$p_{ik}$$. Las probabilidades de transición cumplen las siguientes propiedades: </span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;"><a href="http://img64.imageshack.us/img64/6550/formula1b.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img64.imageshack.us/img64/6550/formula1b.jpg" /></a></div><br />
<div style="color: #274e13; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="color: black;">La <b>propiedad (2)</b> indica que la suma de las probabilidades de todas las flechas que parten de un estado es igual a 1.</span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">Un proceso estocástico está completamente determinado si se conoce además de las probabilidades de transición $$p_{ik}$$, el estado inicial en que se encuentra el sistema.</div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">La siguiente figura muestra el grafo de un proceso aleatorio. Estados finales como 3 y 4 se llaman <span style="color: blue;">absorbentes</span>. En general, un estado i es absorbente cuando $$p_{ii}=1$$. Al conjunto R={3, 4} de los estados absorbentes se le llama <span style="color: blue;">borde de S</span>. Evidentemente, puede ocurrir que R sea el conjunto vacío.</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;"><a href="http://img64.imageshack.us/img64/9697/problema2b.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="123" src="http://img64.imageshack.us/img64/9697/problema2b.jpg" width="320" /></a></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br />
</div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">Los estados de <b>S</b> que no pertenecen a R se llaman <span style="color: blue;">estados interiores.</span> En el ejemplo anterior, los estados 1 y 2 son interiores. Un proceso estocástico se puede representar mediante recorridos en un grafo.<br />
<br />
<b style="color: blue;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">REGLAS DE LOS CAMINOS: </span></b><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">La probabilidad de un camino dado es igual al producto de todas las probabilidades a lo largo de dicho camino.</span></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">La probabilidad <b>pi</b> de alcanzar un subconjunto <b>T</b> del borde <b>R</b> a partir de <b>i </b>es igual a la suma de las probabilidades de todos los caminos que conducen desde <b>i</b> hasta <b>T</b>.</div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><b>REGLAS DEL VALOR MEDIO:</b></div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">Supongamos un proceso aleatorio absorbente con un espacio de estados <b>S={1, 2, …, n}</b>. Nos interesa la probabilidad de que la absorción se produzca en un subconjunto determinado <b>T</b> del borde <b>R</b> y la duración media del recorrido hasta dicha absorción. En general,<b> T</b> está formado por un único estado absorbente.</div><div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><br />
Sea <b>Pi</b>= probabilidad de que, partiendo de i, la absorción tenga lugar en <b>T⊂R</b>.<br />
<br />
<b>mi</b>= duración media del recorrido desde i hasta la absorción en R.</div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">Entonces se cumple:</div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">a)<br />
<div style="text-align: center;"><a href="http://img41.imageshack.us/img41/596/formula2b.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img41.imageshack.us/img41/596/formula2b.jpg" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"> para los estados interiores.</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">b) <b>pi = 1</b> para todos los estados de <b>T</b>, <b>pi = 0 </b>para los estados de R que no están en <b>T</b>.</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">c)</div><div class="separator" style="clear: both; font-family: Verdana, sans-serif; text-align: center;"><a href="http://img101.imageshack.us/img101/7296/formula3b.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img101.imageshack.us/img101/7296/formula3b.jpg" /></a></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"> para todos los estados interiores. </div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">d) <b> mi = 0</b> para todos los estados del borde <b>R</b>.</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>de a)<b> Primera regla del valor medio: </b>La probabilidad de un estado interior es igual a la media ponderada de las probabilidades de sus estados vecinos.<b><br />
</b></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">de c) <i><b>Segunda regla del valor medio</b></i>: <i>El valor de espera de un estado interior es igual a la unidad más la media ponderada de los valores de espera de sus estados vecinos.</i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><b style="color: blue;">Solución: </b></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Se <i>pueden representar las direcciones de los recorridos de la hormiga sobre las aristas del cubo por el siguiente grafo:</i></span></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; font-family: Verdana, sans-serif; text-align: center;"><img border="0" height="183" src="http://img861.imageshack.us/img861/9126/grafopb2.jpg" width="200" /></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"></span><i><span style="color: blue;">Sea </span></i>$$P_{58}$$ <i><span style="color: blue;">la probabilidad de ir del vértice 5 al vértice 8 en un número indeterminado de aristas recorridas, y sean:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif; text-align: center;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_1=P_{58}$$</span></span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_2=P_{18}$$</span></span></i></b></span></span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_3=P_{17}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><b><i><br />
</i></b></span></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Hagamos ahora dos consideraciones importantes: </span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><b>1.</b> Consideramos que la posibilidad de llegar a 8 partiendo de 1 es la misma que la de llegar a 8 desde 1 tras encontrarse en 1 después de haber recorrido un número indeterminado de aristas.</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"> <b>2.</b> Consideramos además que algunos vértices tienen las mismas posiciones relativas en relación a 7 y 8 (1 y 2; 3 y 4; 5 y 6)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Entonces:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_1=P_{58}=P_{48}=P_{37}=P_{67}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_2=P_{18}=P_{27}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_3=P_{17}=P_{28}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"> </span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><b><i><br />
</i></b></span></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Cuando la hormiga se encuentra en un vértice la probabilidad de elegir una de las tres aristas es 1/3; entonces:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"> </span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">a)<b> </b></span></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{18}=\frac{1}{3}\cdot{P_{58}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{48}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{28}}$$</span><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"> </span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;">(ya que desde 1 podemos ir a 5, 4 y 2)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">b)<b> </b></span></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{17}=\frac{1}{3}\cdot{P_{57}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{47}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{27}}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;"> </span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">c)</span></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{58}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot{P_{68}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{18}}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;">(ya que desde 5 podemos ir a 8 directamente, o pasando por 1 o por 6)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">d)<b> </b></span></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{57}=\frac{1}{3}\cdot{P_{67}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{17}}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;"> (ya que no podemos pasar por 8)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">e)</span><b><span style="color: blue;"> </span></b></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{68}=P_{57}$$</span><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"> </span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;">(por simetría)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Sustituimos las probabilidades anteriores por </span></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_1,x_2,x_3$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;"> y reducimos términos:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Sustituyendo directamente en la ecuación a):</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><b><span style="color: blue;"> </span></b></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_2=\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;">, reduciendo términos:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$3x_2=2x_1+x_3$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif; font-style: italic;"><b> </b></span><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif; font-style: italic;"><b>(Ec. 1)</b></span><br />
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">De la ecuación d):</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{57}=\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i><i><span style="color: blue;"> </span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">De la ecuación c) y usando d) y e)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot{(\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3})}+\frac{1}{3}\cdot{x_2}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></span>, reduciendo términos:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$8x_1=3+x_3+3x_2$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b> <b>(Ec.2)</b></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Por último de b)</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{17}=\frac{1}{3}\cdot{P_{57}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{47}}+\frac{1}{3}\cdot{x_2}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><i><br />
</i></span></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">de d)</span></i><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{57}=\frac{1}{3}\cdot{x_1}}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">además </span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$P_{47}=P_{38}=\frac{1}{3}\cdot{P_{37}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{17}}=\frac{1}{3}\cdot{x_1}}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b> </span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Sustituyendo:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><br />
</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$x_3=\frac{1}{3}\cdot{(\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3})}+\frac{1}{3}\cdot{(\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3})}+\frac{1}{3}\cdot{x_2}$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></span></i></span></span></i><i><span style="color: blue;">, reduciendo términos:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$7x_3=2x_1+3x_2$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i><i><span style="color: blue;"> <b>(Ec. 3)</b></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Tenemos pues un sistema de 3 ecuaciones de lineales con 3 incógnitas. Colocamos los términos para aplicar la Regla de Cramer:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$2x_1-3x_2+x_3=0$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$8x_1-3x_2-x_3=3$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-weight: normal;"><i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;"><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal;"><b><i><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; font-style: normal; font-weight: normal;">$$2x_1+3x_2-7x_3=0$$</span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></b></span></span></i></span></span></b></i></span></b></span></i></span></b></span></i></span></span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><i><br />
</i></span></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><span style="color: blue;">Aplicando la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer"><b>Regla de Cramer</b></a>:</span></i></div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\Delta=\left |{\begin{matrix}{2}&{-3}&{1}\\{8}&{-3}&{-1}\\{2}&{3}&{-7}\end{matrix}}\right |=-84$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\Delta_1=\left |{\begin{matrix}{0}&{-3}&{1}\\{3}&{-3}&{-1}\\{0}&{3}&{-7}\end{matrix}}\right |=-54$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\Delta_2=\left |{\begin{matrix}{2}&{0}&{1}\\{8}&{3}&{-1}\\{2}&{0}&{-7}\end{matrix}}\right |=-48$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\Delta_3=\left |{\begin{matrix}{2}&{-3}&{0}\\{8}&{-3}&{3}\\{2}&{3}&{0}\end{matrix}}\right |=-36$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\Longrightarrow{}$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-54}{-84}=\frac{9}{14}$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-48}{-84}=\frac{4}{7}$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$x_1=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-36}{-84}=\frac{3}{7}$$</div><div style="font-family: Verdana, sans-serif; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue;"><br />
</span></div></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">Respuesta al problema:</span></div><div style="text-align: justify;"><br style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif;" /></div><div style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif; font-weight: bold;">a) ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? P = 0</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif; font-weight: bold;">b) ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? p17 = 3/7</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif; font-weight: bold;">c) ¿Y en el 8? p18 = 4/7</span><br />
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif; font-weight: bold;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Hay más soluciones proporcionadas por lectores de éste blog, como la de nuestro amigo informático.</b></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;">Yo he sido incapaz de encontrar la solución formal. </span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;">Lo único que he podido es encontrar una solución 'empírica'. He mandado 1 millón de hormigas a recorrerlo y me he encontrado con los siguientes resultados:<br style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" />Muertas en punto 8= 571357 (57,14%)<br style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" />Muertas en punto 7= 428643 (42,86%)<br style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" /><br style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" />Qué coincide con 4/7 y 3/7 respectivamente.</span><br />
<pre><code>
#include "stdafx.h"
#include "time.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int movimientos[24]={2,3,5,1,4,6,1,4,7,2,3,8,1,6,7,2,5,8,3,5,8,4,6,7};
int calcular();
int mover(int pos);
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int c7,c8;
c7=0;c8=0;
for(int j=0;j<1000000;j++)
{
if(calcular()==7)
c7++;
else
c8++;
}
printf("c7=%d c8=%d",c7,c8);
scanf("%d",&c7);
return 0;
}
int calcular()
{
int i=1;
while(i!=7 && i!=8)
{
i=mover(i);
}
return i;
}
int mover(int pos)
{
int azar;
azar=rand()%3;
return movimientos[((pos-1)*3)+azar];
}
</code></pre><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>También existe una solución aplicando Cadenas de Markov, proporcionada por otro de nuestros lectores:</b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">El recorrido de la hormiga sobre el cubo es una cadena de Markov finita sobre un conjunto de estados que son los vértices del cubo. Las probabilidades de pasar de un estado a otro vienen dadas por la matriz de transición P.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$P=\begin{bmatrix}{P_{11}}&{P_{12}}&{P_{13}}&{P_{14}}&{P_{15}}&{P_{16}}&{P_{17}}&{P_{18}}\\{P_{21}}&{P_{22}}&{P_{23}}&{P_{24}}&{P_{25}}&{P_{26}}&{P_{27}}&{P_{28}}\\{P_{31}}&{P_{32}}&{P_{33}}&{P_{34}}&{P_{35}}&{P_{36}}&{P_{37}}&{P_{38}}\\{P_{41}}&{P_{42}}&{P_{43}}&{P_{44}}&{P_{45}}&{P_{46}}&{P_{47}}&{P_{48}}\\{P_{51}}&{P_{52}}&{P_{53}}&{P_{54}}&{P_{55}}&{P_{56}}&{P_{57}}&{P_{58}}\\{P_{61}}&{P_{62}}&{P_{63}}&{P_{64}}&{P_{65}}&{P_{66}}&{P_{67}}&{P_{68}}\\{P_{71}}&{P_{72}}&{P_{73}}&{P_{74}}&{P_{75}}&{P_{76}}&{P_{77}}&{P_{78}}\\{P_{81}}&{P_{82}}&{P_{83}}&{P_{84}}&{P_{85}}&{P_{86}}&{P_{87}}&{P_{88}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\\\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}}&{\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$$</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">Para resolver nuestro problema reorganizamos la matriz de manera que los estados absorbentes aparezcan primero:</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$\begin{bmatrix}{P_{88}}&{P_{87}}&{P_{81}}&{P_{82}}&{P_{83}}&{P_{85}}&{P_{85}}&{P_{86}}\\{P_{78}}&{P_{77}}&{P_{71}}&{P_{72}}&{P_{73}}&{P_{74}}&{P_{75}}&{P_{76}}\\{P_{18}}&{P_{17}}&{P_{11}}&{P_{12}}&{P_{13}}&{P_{14}}&{P_{15}}&{P_{16}}\\{P_{28}}&{P_{27}}&{P_{21}}&{P_{22}}&{P_{23}}&{P_{24}}&{P_{25}}&{P_{26}}\\{P_{38}}&{P_{37}}&{P_{31}}&{P_{32}}&{P_{33}}&{P_{34}}&{P_{35}}&{P_{36}}\\{P_{48}}&{P_{47}}&{P_{41}}&{P_{42}}&{P_{43}}&{P_{44}}&{P_{45}}&{P_{46}}\\{P_{58}}&{P_{57}}&{P_{51}}&{P_{52}}&{P_{53}}&{P_{54}}&{P_{55}}&{P_{56}}\\{P_{68}}&{P_{67}}&{P_{61}}&{P_{62}}&{P_{63}}&{P_{64}}&{P_{65}}&{P_{66}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\end{bmatrix}$$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">Esta forma canónica la podemos descomponer en:</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$I=\begin{bmatrix}{P_{88}}&{P_{87}}\\{P_{78}}&{P_{77}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz Identidad 2x2}} $$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$0=\begin{bmatrix}{P_{81}}&{P_{82}}&{P_{83}}&{P_{84}}&{P_{85}}&{P_{86}}\\{P_{71}}&{P_{72}}&{P_{73}}&{P_{74}}&{P_{75}}&{P_{76}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz Cero 6x2}} $$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$R=\begin{bmatrix}{P_{18}}&{P_{17}}\\{P_{28}}&{P_{27}}\\{P_{38}}&{P_{37}}\\{P_{48}}&{P_{47}}\\{P_{58}}&{P_{57}}\\{P_{68}}&{P_{67}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz R 2x6}} $$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$Q=\begin{bmatrix}{P_{11}}&{P_{12}}&{P_{13}}&{P_{14}}&{P_{15}}&{P_{16}}\\{P_{21}}&{P_{22}}&{P_{23}}&{P_{24}}&{P_{25}}&{P_{26}}\\{P_{31}}&{P_{32}}&{P_{33}}&{P_{34}}&{P_{35}}&{P_{36}}\\{P_{41}}&{P_{42}}&{P_{43}}&{P_{44}}&{P_{45}}&{P_{46}}\\{P_{51}}&{P_{52}}&{P_{53}}&{P_{54}}&{P_{55}}&{P_{56}}\\{P_{61}}&{P_{62}}&{P_{63}}&{P_{64}}&{P_{65}}&{P_{66}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz Q 6x6}} $$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">Calculamos $$I-Q$$, usamos la matriz identidad 6x6</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$I-Q=\begin{bmatrix}{1}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{1}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{-\frac{1}{3}}\\{0}&{-\frac{1}{3}}&{1}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{0}&{-\frac{1}{3}}&{1}&{0}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{1}&{-\frac{1}{3}}\\{0}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{-\frac{1}{3}}&{1}\end{bmatrix} $$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">La matriz $$N=(I-Q)^{-1}$$ es llamada la matriz fundamental de la cadena de Markov. Sus entradas representan en número esperado de veces que el proceso pasa por el estado j después de empezar en i antes de ser absorbido.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$N=(I-Q)^{-1}=\begin{bmatrix}{1.92857}&{1.07143}&{0.64286}&{0.85714}&{0.85714}&{0.64286}\\{1.07143}&{1.92857}&{0.85714}&{0.64286}&{0.64286}&{ 0.85714}\\{0.64286}&{0.85714}&{1.52679}&{0.72321}&{0.34821}&{0.40179}\\{0.85714}&{0.64286}&{0.72321}&{1.52679}&{0.40179}&{0.34821}\\{0.85714}&{0.64286}&{0.34821}&{0.40179}&{1.52679}&{0.72321}\\{0.64286}&{0.85714}&{0.40179}&{0.34821}&{0.72321}&{1.52679}\end{bmatrix} $$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">Las probabilidades de absorción se obtienen multiplicado N por la parte R de la matriz P forma canónica: $$B=N\cdot{P}$$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$B=N\cdot{P}=\begin{bmatrix}{0.57143}&{0.42857}\\{0.42857}&{0.57143}\\{0.35714}&{0.64286}\\{0.64286}&{0.35714}\\{0.64286}&{0.35714}\\{0.35714}&{0.64286}\end{bmatrix}$$</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-size: 14px; line-height: 18px;"></span></span><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$B=\begin{bmatrix}{P_{18}}&{P_{17}}\\{P_{28}}&{P_{27}\\{P_{38}}&{P_{37}\\{P_{48}}&{P_{47}\\{P_{58}}&{P_{57}}\\{P_{68}}&{P_{67}}\end{bmatrix}$$</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;">Por lo tanto la probabilidad de acabar en el estado 8 partiendo del uno es 0.57143 (4/7) y en el 7 0.42857 (3/7)</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;"><br />
</span></div><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;"></span><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;">Otro resultado interesante y sencillo de obtener es <span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;">$$T=N\cdot{I}$$</span><span class="Apple-style-span" style="color: #334455; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px;"> donde I es un vector todo unos. T nos da el número esperado de pasos antes de la absorción para cada punto de partida.</span></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: blue;">SOLUCIÓN DE "EL PAÍS": </span><span class="Apple-style-span" style="color: purple;"><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/hormiga/negro/futuro/elpepusoc/20110330elpepusoc_6/Tes">"Una hormiga con un negro futuro"</a></span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/iw30id-HZEc?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com46tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-26041436098462495112011-03-26T10:54:00.026+01:002011-03-28T21:12:22.582+02:00Un problema de ciudades y carreteras<div style="text-align: justify;"><div><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primer problema que <b style="color: #20124d;">Adolfo Quirós</b>, de la <b style="color: #660000;"><a href="http://www.rsme.es/" target="blank">Real Sociedad Matemática Española</a></b>, organismo que en 2011 cumple cien años, y profesor de la <b><a href="http://www.uam.es/ss/Satellite/es/home" style="color: #660000;" target="blank">Universidad Autónoma de Madrid</a></b>, plantea a los lectores de "<b><a href="http://www.elpais.com/">El País</a></b>". Cada semana, hasta completar las 30 que dura la promoción, plantean nuevos desafíos.</span></div><br />
<div><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El dibujo es un grafo, y representa una serie de puntos, llamados vértices unidos por unos trazos llamados aristas. Un camino en el grafo es un recorrido por el grafo que usa las aristas para saltar de vértice en vértice.</span></div><br />
<div><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Encuentra un camino en el grafo de forma que se recorran todos los números una única vez y se vuelva al número inicial, o bien, demuestra que es imposible. </span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://img171.imageshack.us/img171/1748/elpais01.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img border="0" src="http://img171.imageshack.us/img171/1748/elpais01.png" /></span></a></div></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/kwU1uIbylsM?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></span></div><br />
<div style="color: #274e13; text-align: center;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Solución:</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Antes de dar la solución, expliquemos unos conceptos previos:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un <b style="color: blue;">grafo</b> $$G$$ es un par $$G=(V,E)$$, donde $$V$$ es un conjunto finito (<span style="color: blue;">vértices,</span> nodos) y $$E$$ es un multiconjunto de pares no ordenados de vértices, denotados por $$\left\{{x,y}\right\}$$, que se denominan lados, <span style="color: blue;">aristas</span>, etc.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">En este caso decimos que <b>x</b> e <b>y</b> son <span style="color: blue;">extremos</span> de <b>{x, y}</b>. Denotamos <b>V (G)</b> por el <span style="color: blue;">conjunto de vértices</span> del grafo <b>G</b> y por <b>E(G)</b> el <span style="color: blue;">conjunto de lados</span> del grafo <b>G.</b></span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una sucesión alternada de vértices y lados <b>u1, e1, u2, e2, . . . , ek, uk+1</b> tal que <b>ei = [ui, ui+1]</b> se denomina cadena en un grafo y<span style="color: blue;"> <b>camino</b> </span>en un digrafo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">La <span style="color: blue;">cadena cerrada</span> es un <b style="color: blue;">ciclo</b> si todos los vértices (excepto los extremos) son distintos. El <span style="color: blue;">camino cerrado</span> es un <b style="color: blue;">circuito</b> si todos los vértices (excepto los extremos) son distintos.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se dice que un grafo simple <b>G = (V,E)</b> es<b style="color: blue;"> bipartito</b> si el conjunto de vértices <b>V (V1 ∪ V2 = V, V1 ∩ V2 = ∅</b> se puede dividir en dos conjuntos disjuntos <b>V1, V2</b>, de tal manera que toda arista <b>e ∈ E</b> conecta un vértice de <b>V1</b> con un vértice de <b>V2</b>.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un camino simple que contiene cada vértice de <b>G</b> se denomina c<b style="color: blue;">amino Hamiltoniano</b> de <b>G</b>; análogamente, un <b style="color: blue;">ciclo Hamiltoniano</b> de <b>G</b> es un ciclo que contiene todos los vértices de <b>G</b>. Tales caminos y ciclos son asíllamados después que <b style="color: #20124d;">Hamilton</b> (1856) describió, en una carta a su amigo Graves, un juego matemático sobre el dodecaedro en el cual una persona coloca cinco alfileres en cinco vértices consecutivos y a otra se le exige completar un camino simple hasta completar un ciclo.</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un <b style="color: blue;">grafo es hamiltoniano</b> si contiene un <span style="color: blue;">ciclo Hamiltoniano</span>. Este es el caso del primer grafo dibujado por el profesor <b style="color: #20124d;">Quirós</b>, conocido como el <b style="color: blue;"><span style="color: blue;">D</span>odecaedro Hamiltoniano.</b></span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Hamiltonian_path.svg/470px-Hamiltonian_path.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img border="0" height="306" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Hamiltonian_path.svg/470px-Hamiltonian_path.svg.png" width="320" /></span></a></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo arbitrario se sabe que es <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/NP-completo">NP-completo</a></b>.(No existe un método de resolución general).</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><span style="color: black;">Veamos ahora la <b style="color: blue;">Solución del problema</b> planteado:</span></span></span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><span style="color: black;">La forma más fácil de resolverlo es darse cuenta de que se trata de un grafo muy conocido, llamado <b style="color: blue;">Grafo de Herschel, el cuál se sabe que es bipartito y además tiene un número impar de vértices, por lo que no puede ser un grafo hamiltoniano.</b></span></span></span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><span style="color: black;"><b style="color: blue;"> </b><span style="color: black;">Otro método para resolver el problema es usar la <b style="color: blue;">coloración de grafos</b>. </span></span></span></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://img856.imageshack.us/img856/5969/220pxherschelgraphlssvg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img border="0" src="http://img856.imageshack.us/img856/5969/220pxherschelgraphlssvg.png" /></span></a></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Coloreemos los vértices de dos colores, por ejemplo, <b style="color: red;">rojo</b> y <b style="color: blue;">azul</b>, de forma que los vértices rojos sólo se comuniquen directamente con los azules y los azules con los rojos. Nos quedarán así <i style="color: purple;">seis vértices rojos y cinco azules</i>. Pues bien, si empezamos por un vértice rojo nuestro última etapa será también de ese color, pero entonces no habrá comunicación con el punto de partida (no están enlazados los puntos del mismo color). Pero si empezamos con un vértice azul (sólo hay cinco) será peor, ya que quedaremos atascados mucho antes de completar el circuito. Por tanto, <b style="color: blue;">el grafo de Herschel no tiene ningún ciclo hamiltoniano</b>.</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por último podríamos demostrarlo matemáticamente:</span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span id="search">Sea <b>G = (V,A)</b> <i>un grafo e <b>I</b> un conjunto independiente</i> en <b>V</b> (si no hay en I dos vértices adyacentes).</span></span></div></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span id="search" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>El <span style="color: blue;">número de aristas incidentes</span> en vértices</i> del conjunto independiente será la <span style="color: blue;">suma de las valencias</span> de sus vértices, ya que al contabilizar cada una de ellas no aparecen repetidas, ya que no existe ninguna que tenga ambos vértices en I. Entonces:</span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://img853.imageshack.us/img853/3976/formula1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img border="0" src="http://img853.imageshack.us/img853/3976/formula1.jpg" /></span></a></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Supongamos ahora que <b>G</b> es Hamiltoniano y sea <b>C</b> un ciclo hamiltoniano.Vamos a demostrar que el número de aristas de A que no están en <b>C</b> es mayor o igual que:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img28.imageshack.us/img28/596/formula2b.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img28.imageshack.us/img28/596/formula2b.jpg" /></a></span></div><span id="search" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A cada <b>x ∈ I</b>, <i>al eliminar las aristas de <b>C</b></i>, le quedan <b>δ(x) − 2</b> aristas y además estas aristas no son aristas incidentes en ningún otro vértice de <b>I</b>, por lo que el número de aristas de <b>A</b> que no están en <b>C</b> será:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img847.imageshack.us/img847/5763/formula3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="53" src="http://img847.imageshack.us/img847/5763/formula3.jpg" width="320" /></a></span></div><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como consecuencia de lo anterior si </span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://img854.imageshack.us/img854/2578/formula4.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://img854.imageshack.us/img854/2578/formula4.jpg" /></a></span></div><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> <b style="color: blue;">entonces G no es Hamiltoniano</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span id="search" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El conjunto independiente <b>I = {8, 3, 11, 2, 4}</b> <i>de la <b style="color: blue;">figura del problema</b> verifica</i> la desigualdad anterior, por lo que <b style="color: blue;">el grafo de Herschel no puede ser hamiltoniano.</b></span></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span id="search"><b style="color: blue;">SOLUCIÓN DE "EL PAÍS": </b></span><a href="http://www.elpais.com/articulo/cultura/solucion/hay/solucion/elpepicul/20110322elpepicul_10/Tes"><b>Y la solución es... no hay solución</b></a></span></div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/epmUQ4573z4?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;"><span style="font-size: x-small;"><a href="http://salirseporlatangente.blogspot.com/"><b><i><span style="color: purple;">Publicado por Gogely the Great </span></i></b></a></span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-66449489522867444752011-03-26T10:25:00.021+01:002011-07-08T19:55:37.639+02:00DESAFÍOS MATEMÁTICOS DE "EL PAÍS"<div style="color: #274e13; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-large;">DESAFÍOS MATEMÁTICOS DEL PAÍS</span></b></div><br />
<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El periódico <b><a href="http://www.elpais.com/">El País</a></b> ha lanzado una colección de libros de divulgación matemática, aprovechando el primer centenario de la <b><a href="http://www.rsme.es/" style="color: #660000;">Real Sociedad Española de Matemáticas</a></b>. Para promocionar la colección (que se publica semanalmente por entregas), cada semana propondrá un </span><i style="font-family: Verdana, sans-serif;">desafío</i><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> (un problema). Entre los lectores que den con la solución correcta y que la envíen de vuelta antes de cierta fecha (las 0.00 del martes inmediatamente siguiente a la publicación del desafío semanal) se sortea cada semana un lote compuesto por la colección completa de libros.</span></div><br />
<table border="0"><tbody>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/un-problema-de-ciudades-y-carreteras.html"><span class="Apple-style-span">Un problema de ciudades y carreteras</span></a></span></b></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/una-hormiga-amenazada.html"><span class="Apple-style-span">Una hormiga amenazada</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/04/un-cuadrado-magico-de-productos.html"><span class="Apple-style-span">Un Cuadrado Mágico de Productos</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/04/un-reloj-de-dos-colores.html"><span class="Apple-style-span">Un Reloj de Dos Colores</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/04/un-pais-de-palillos.html"><span class="Apple-style-span">Un PAÍS de Palillos</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/04/una-cuestion-de-sombreros.html"><span class="Apple-style-span">Una Cuestión de Sombreros</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/04/un-piano-gigantesco.html"><span class="Apple-style-span">Un Piano Gigantesco</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/05/un-cubo-de-suma-cero.html"><span class="Apple-style-span">Un Cubo de Suma Cero</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/05/una-enorme-potencia-de-2.html"><span class="Apple-style-span">Una Enorme Potencia de 2</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/05/como-rellenar-con-piezas-un-tablero.html"><span class="Apple-style-span">Como Rellenar con Piezas un Tablero</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/05/pesando-tornillos.html"><span class="Apple-style-span">Pesando Tornillos</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/06/una-exhibicion-de-coches-de-carreras.html"><span class="Apple-style-span">Una Exhibición de Coches de Carreras</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/06/una-camiseta-bordada-en-zigzag.html"><span class="Apple-style-span">Una Camiseta Bordada en Zigzag</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/07/particulas-en-colision.html"><span class="Apple-style-span">Partículas en Colisión</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/07/una-cuestion-de-unos-y-ceros.html"><span class="Apple-style-span">Una Cuestión de Unos y Ceros</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/07/una-molecula-de-siete-atomos.html"><span class="Apple-style-span">Una Molécula de Siete Átomos</span></a></span></b></div></td></tr>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></span></a></div></td> <td style="color: blue; font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><div style="text-align: justify;"><b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/07/un-mantel-para-una-mesa.html"><span class="Apple-style-span">Un Mantel Para una Mesa</span></a></span></b></div></td></tr>
</tbody></table>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-27896081311504274252011-03-01T21:39:00.002+01:002011-03-01T21:39:15.650+01:00Invariante<span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Matemáticas">matemáticas</a>, <b>invariante</b> es algo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones. Más formalmente una entidad se considera invariante bajo un conjunto de transformaciones si la imagen transformada de la entidad es indistinguible de la entidad original. La propiedad de ser invariante se conoce como <b>invarianza</b> o <b>invariancia</b>.</span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/vector/images/bullet-icon.png?1); list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un ejemplo fácil de invarianza es la distancia entre dos puntos en una recta, ésta no cambia al <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Suma" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Suma">sumar</a> una misma cantidad a ambos puntos; es decir es invariante bajo la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Suma" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Suma">suma</a>, pero si los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Multiplicación">multiplicamos</a> por una misma cantidad (excepto el 1) cambia la distancia; entonces no es invariante en la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Multiplicación">multiplicación</a>.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Simetría">simetría</a> también puede ser considerada una forma de invarianza.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Otro ejemplo interesante son los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Invariante_algebraico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Invariante algebraico">invariantes algebraicos</a> que aparecen en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Álgebra lineal">álgebra lineal</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Cálculo tensorial">cálculo tensorial</a> y <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Topología">topología</a>.</span></li>
</ul><table class="toc" id="toc" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(170, 170, 170); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(170, 170, 170); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(170, 170, 170); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; padding-bottom: 5px; padding-left: 5px; padding-right: 5px; padding-top: 5px; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td><div id="toctitle" style="text-align: center;"><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; color: black; display: inline; font-weight: bold; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Contenido</span></h2></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-1 tocsection-1" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Invariante#Invariancia_en_f.C3.ADsica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Invariancia en física</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Invariante#Invariancia_en_matem.C3.A1ticas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Invariancia en matemáticas</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-3" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Invariante#Invariancia_en_programaci.C3.B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Invariancia en programación</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-4" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Invariante#Enlaces_externos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Enlaces externos</span></span></a></li>
</ul></td></tr>
</tbody></table><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariante&action=edit&section=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Invariancia en física">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Invariancia_en_f.C3.ADsica"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Invariancia en física</span></div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una noción física fundamental es la de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Observador" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Observador">observador</a>. En todas las teorías físicas se presupone la existencia de algún tipo de realidad objetiva y un número potencialmente infinito de observadores diferentes capaces de observar y medir dicha realidad. Todas las teorías físicas incluyen el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Objetividad" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Objetividad">axioma o principio de objetividad</a> según el cual aunque diferentes observadores pueden llegar a medidas diferentes de la misma realidad objetiva, todas ellas son relacionables mediante reglas generales, es decir, la objetividad del mundo material se refleja en la intersubjetividad de las medidas físicas.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Puede demostrarse que la existencia de intersubjetividad de las medidas conduce a que pueden formarse ciertas expresiones matemáticas que relacionan las medidas que son invariantes en forma o <b>forminvariantes</b> para todos los observadores.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariante&action=edit&section=2" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Invariancia en matemáticas">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Invariancia_en_matem.C3.A1ticas"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Invariancia en matemáticas</span></div></span></h2><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/vector/images/bullet-icon.png?1); list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Invariante_algebraico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Invariante algebraico"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">invariante algebraico</span></a></li>
</ul><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariante&action=edit&section=3" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Invariancia en programación">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Invariancia_en_programaci.C3.B3n"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Invariancia en programación</span></div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un invariante es una condición o propiedad que se mantiene cierta en ciertos puntos del programa. Se usa sobre todo en la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Depuraci%C3%B3n_de_programas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Depuración de programas">depuración de programas</a> en las últimas fases de su desarrollo o al modificar código existente (<a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_regresi%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Prueba de regresión">prueba de regresión</a>).</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariante&action=edit&section=4" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Enlaces externos">editar</a>]</span></span><div style="text-align: justify;"><br />
</div><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 19px;"><span class="mw-headline" id="Enlaces_externos"></span></span></h2>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-87819098455774320662011-03-01T21:22:00.004+01:002011-03-01T21:40:04.405+01:00DICCIONARIO MATEMÁTICO - I<div style="color: #274e13; text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>DICCIONARIO MATEMÁTICO</b></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico.html">A</a> B <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-c.html">C</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-d.html">D</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-e.html">E</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-f.html">F</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-g.html">G</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/02/diccionario-matematico-h.html">H</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/diccionario-matematico-i.html">I</a> J K <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-l.html">L</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-m.html">M</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-n.html">N</a> O <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-p.html">P</a> Q <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-r.html">R</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-s.html">S</a> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-t.html">T</a> U <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2010/12/diccionario-matematico-v.html">V</a> W</b></span></span></div><br />
<div style="text-align: center;"><b style="color: blue;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;">I</span></b></div><br />
<table border="0"><tbody>
<tr><td width="5%"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-rgzxV5JzYkMByo23y_S3i48M6WeF7XLgh_cxWftrnM9EfzzulXpydp5kn_Gkvwwt_rcpD7Dkm-2ydElmSEkZNQhPUfGp5M9aJWNWwNVov5Iq1ILCp2-w0Nwr4OiEtFQeExOqlmEDJwtF/s1600/menu-arrow-right.gif" /></a></div></td><td style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;" width="90%"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> <a href="http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/invariante.html"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Invariante</span></a></span></td> </tr>
</tbody></table>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-6835864561134356792011-03-01T21:01:00.000+01:002011-03-01T21:01:02.564+01:00Toro (Geometría)<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">geometría</a>, un <b>toro</b> es una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">superficie de revolución</a> generada por una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">circunferencia</a> que gira alrededor de una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Recta" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">recta</a> exterior coplanaria (en su plano y que no la corta). La palabra «toro» proviene del vocablo en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADn" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">latín</a> <i>torus</i>, el cual en castellano significa «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la basa, con forma de hogaza de pan.<sup class="reference" id="cite_ref-0" style="font-style: normal; font-weight: normal; line-height: 1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#cite_note-0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1</a></sup> <sup class="reference" id="cite_ref-1" style="font-style: normal; font-weight: normal; line-height: 1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#cite_note-1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">2</a></sup></span></div><div class="thumb tright" style="background-color: transparent; clear: right; float: right; line-height: 19px; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;"><div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 252px;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus.png" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="160" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Torus.png/250px-Torus.png" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="250" /></a></span></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.17/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; text-align: justify; vertical-align: middle;" width="15" /></a></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Imagen de un toro generada en <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/3D" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="3D">3D</a>.</span></div></div></div></div><table class="toc" id="toc" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(170, 170, 170); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(170, 170, 170); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(170, 170, 170); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; line-height: 19px; padding-bottom: 5px; padding-left: 5px; padding-right: 5px; padding-top: 5px; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td><div id="toctitle" style="text-align: center;"><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; color: black; display: inline; font-weight: bold; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: auto;">Contenido</h2> <span class="toctoggle">[<a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#" id="togglelink" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">ocultar</a>]</span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-1 tocsection-1" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Geometr.C3.ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Geometría</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Topolog.C3.ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Topología</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-3" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#El_toro_en_n_dimensiones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">El toro en n dimensiones</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-4" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Aplicaciones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Aplicaciones</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-5" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Resultados" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Resultados</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-6" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Curiosidades" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Curiosidades</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-7" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Véase también</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-8" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Referencias" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Referencias</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-9" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29#Enlaces_externos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Enlaces externos</span></a></li>
</ul></td></tr>
</tbody></table><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Geometría">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Geometr.C3.ADa"><div style="text-align: justify;">Geometría</div></span></span></h2><div class="thumb tright" style="background-color: transparent; clear: right; float: right; line-height: 19px; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;"><div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 202px;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus-construction.JPG" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="229" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Torus-construction.JPG/200px-Torus-construction.JPG" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="200" /></a></span></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus-construction.JPG" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.17/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; text-align: justify; vertical-align: middle;" width="15" /></a></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Representación en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_di%C3%A9drico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">sistema diédrico</a>del toro.</span></div></div></div></div><div class="thumb tright" style="background-color: transparent; clear: right; float: right; line-height: 19px; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;"><div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 202px;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Blue_cut-torus.gif" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="150" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blue_cut-torus.gif/200px-Blue_cut-torus.gif" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="200" /></a></span></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Blue_cut-torus.gif" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.17/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; text-align: justify; vertical-align: middle;" width="15" /></a></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Intersección de un toro y un plano.</span></div></div></div></div><div style="margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"><br />
</span></span></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 1.5em;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: normal;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 1.5em;">El toro genera un hueco en su interior, apropiando la forma semejante a un </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Neum%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; line-height: 1.5em; text-decoration: none;">neumático</a><span class="Apple-style-span" style="line-height: 1.5em;"> recargado, o a un </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%B3nut" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; line-height: 1.5em; text-decoration: none;">dónut</a><span class="Apple-style-span" style="line-height: 1.5em;"> o </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Rosquilla" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; line-height: 1.5em; text-decoration: none;">rosquilla</a><span class="Apple-style-span" style="line-height: 1.5em;">. Las</span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; line-height: 1.5em; text-decoration: none;">coordenadas cartesianas</a><span class="Apple-style-span" style="line-height: 1.5em;"> del toro son:</span></span></div></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><img alt="x = \cos(s) \cdot(R + r \cdot \cos(t))" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/e/b/2eb34664f6c2f1ea7873dc19dc200375.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><img alt="y = \sin(s) \cdot (R + r \cdot \cos(t))" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/8/7/58785e2af07f5ab61719da139b412c47.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><img alt="z = r \cdot \sin(t) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/5/7/757fca39866a2688c8bbe969f5edd400.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">donde R y r son constantes, y <img alt="s,t \in [0,2\pi)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/5/9/d598e383b99a5ef2134552b6f7b23bed.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Para generar un toro, comenzamos con <img alt="X = [0,1] \times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/6/b/16b35d7ad86c698ea33c35859f13217b.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Sea <span class="texhtml"><i>X</i> <sup style="line-height: 1em;">*</sup></span> un conjunto de elementos:</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><img alt="\{ x \times 0, x \times 1 \mid 0 < x < 1 \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/1/461800a91cf82aeb529c4e467ab7bf95.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><img alt="\{ 0 \times y, 1 \times y \mid 0 < y < 1 \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/6/8/d68d5aacac02ab09984c6d07d6c4a055.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">con la colección de cuatro puntos <img alt=" \{ 0 \times 0, 1 \times 0, 0 \times 1, 1 \times 1 \}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/9/4/d94ae365ed2ad5a07fa487a4207136e6.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Las ecuaciones paramétricas del toro son:</div><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><i>x</i>(<i>u</i>, <i>v</i>) = (<i>R</i> + <i>r</i> cos <i>v</i>) cos <i>u</i></dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><i>y</i>(<i>u</i>, <i>v</i>) = (<i>R</i> + <i>r</i> cos <i>v</i>) sen <i>u</i></dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><i>z</i>(<i>u</i>, <i>v</i>) = <i>r</i> sen <i>v</i></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">donde <i>u</i>, <i>v</i> ∈ [0, 2π], <i>R</i> es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, cuando <i>r</i> es el radio del conducto.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje <i>z</i> es</div><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><img alt="\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/4/a/b4afcb3cc0db48929afb7017a397d49a.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">La superficie del área y el volumen del interior del toro son:</div><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><img alt="A = 4\pi^2 Rr \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/0/9808ba33c6aa151105ef2412fc5a61be.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><img alt="V = 2\pi^2R r^2. \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/1/b/71bde3b7b57d6224d7231c7adcd57d0a.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=2" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Topología">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Topolog.C3.ADa"><div style="text-align: justify;">Topología</div></span></h2><div class="thumb tright" style="background-color: transparent; clear: right; float: right; line-height: 19px; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;"><div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 222px;"><div style="text-align: justify;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus_cycles.png" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="162" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Torus_cycles.png/220px-Torus_cycles.png" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="220" /></a></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus_cycles.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.17/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; text-align: justify; vertical-align: middle;" width="15" /></a></div><div style="text-align: justify;">Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Circunferencia">circunferencias</a>, <img alt="S^1\times S^1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/2/b8225d34eb11ab3ecf5f99eeeb5168df.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></div></div></div></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Topología">Topológicamente</a>, un toro es una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Superficie (matemática)">superficie</a> cerrada definida como el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">producto cartesiano</a> de dos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Circunferencia">circunferencias</a>: <img alt="S^1\times S^1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/2/b8225d34eb11ab3ecf5f99eeeb5168df.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> y con la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Topología">topología producto</a>.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">topología</a>, un <i>volumen tórico</i> o <i>toro sólido</i> (<i>vollringe</i>) es un objeto <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/3-variedad" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="3-variedad">tridimensional</a> obtenido mediante el producto cartesiano de un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Disco_(topolog%C3%ADa)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Disco (topología)">disco</a> y una<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">circunferencia</a>: <img alt="D ^2\times S^1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/d/0/6d04925ec9f5422078893ffc455caa8e.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">La superficie descrita, dada la <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_relativa&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Topología relativa (aún no redactado)">topología relativa</a> de <b>R</b><sup style="line-height: 1em;">3</sup>, es <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Homeomorfismo">homeomorfa</a> con el toro topológico mientras éste no intercepte con su propio eje.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">El toro puede también describirse como el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_cociente" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Espacio cociente">cociente</a> del ’’<a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_euclidiano&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Plano euclidiano (aún no redactado)">Plano euclidiano</a>’’ bajo las tipificaciones</div><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;">(<i>x</i>, <i>y</i>) ~ (<i>x</i>+1,<i>y</i>) ~ (<i>x</i>, <i>y</i>+1)</dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Equivalentemente, como el cociente del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">cuadrado</a> o unidad conectando los bordes opuestos, descrito como un <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pol%C3%ADgono_fundamental&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Polígono fundamental (aún no redactado)">polígono fundamental</a> <span class="texhtml"><i>A</i><i>B</i><i>A</i> <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup><i>B</i><sup style="line-height: 1em;">− 1</sup></span>.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Esta superficie se considera como el <b>espacio total</b> de un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">fibrado</a> (trivial), donde el <b>espacio base</b> es la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">circunferencia</a> <span class="texhtml"><i>S</i><sup style="line-height: 1em;">1</sup></span>.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">El <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">grupo fundamental</a> del toro es precisamente el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_directo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">producto directo</a> del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma:</div><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><img alt="\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/b/8/eb87f934a8d740526da952fc432f87be.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Intuitivamente, esto significa que un <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Camino_(topolog%C3%ADa)&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Camino (topología) (aún no redactado)">camino</a> cerrado el cual rodea entre ambos, el "orificio" y el "cuerpo" del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que envuelva el cuerpo y el orificio. Es decir, los caminos estrictamente <b>meridionales</b> y estrictamente <b>longitudinales</b> participan en operaciones conmutativas.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">El primer <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_homol%C3%B3gico&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Grupo homológico (aún no redactado)">grupo homológico</a> del toro es <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Isomorfismo">isomorfo</a> al grupo fundamental; puesto que el grupo fundamental es <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_abeliano" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Grupo abeliano">abeliano</a>).</div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=3" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: El toro en n dimensiones">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="El_toro_en_n_dimensiones"><div style="text-align: justify;">El toro en n dimensiones</div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un <b>toro n dimensional</b> se define como el producto de <i>n</i> circunferencias:</div><dl style="line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><img alt="\mathbb{T}^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/e/e/4ee743a1df4f5f393b391d371a3cf311.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></dd></dl><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(data:image/png; list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;">el “toro a la 1” es precisamente la circunferencia: <span class="texhtml"><i>S</i><sup style="line-height: 1em;">1</sup></span>.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;">el <img alt="\mathbb{T}^2=S^1\times S^1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/6/b/96b43d31ee929579bbd0f351a3b2f6ae.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /> es el “toro a la 2”,</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;">el “toro a la 3” puede considerarse como <img alt="\mathbb{T}^2\times S^1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/1/0d10cfbee9212391a482a77d15792129.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />, esto es como el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">producto cartesiano</a> del dos-toro por la circunferencia.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;">generalizando, el <i>toro a la n</i> potencia puede describirse como el cociente de <b>R</b><sup style="line-height: 1em;"><i>n</i></sup> con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.</li>
</ul><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">El <i>toro a la n</i> es <b>R</b><sup style="line-height: 1em;"><i>n</i></sup> módulo la <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Acci%C3%B3n_de_grupo&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Acción de grupo (aún no redactado)">acción</a> del <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_enrejado&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Grupo enrejado (aún no redactado)">grupo enrejado</a> <b>Z</b><sup style="line-height: 1em;"><i>n</i></sup> (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el <i>toro a la n</i> se obtiene a partir del <i>n</i>-<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">cubo</a> pegando las caras opuestas.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_m%C3%A1ximo&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Toro máximo (aún no redactado)">toro máximo</a>; es decir, un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Subgrupo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">subgrupo</a> cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">El <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">grupo fundamental</a> de un <i>toro a la n</i> es un <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_abeliano_libre&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Grupo abeliano libre (aún no redactado)">grupo abeliano libre</a> de rango <i>n</i>. El <i>k</i>-ésimo <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_homol%C3%B3gico&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Grupo homológico (aún no redactado)">grupo homológico</a> de un <i>toro a la n</i> es un grupo abeliano libre de rango <i>n</i> <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Coeficiente binomial">sobre</a> <i>k</i>. De esto se deduce que la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Euler" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">característica de Euler</a> del <i>toro a la n</i> es 0 para cualquier <i>n</i>. El <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anillo_homol%C3%B3gico&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Anillo homológico (aún no redactado)">anillo homológico</a> <i>H</i><sup style="line-height: 1em;">•</sup>(<b>T</b><sup style="line-height: 1em;"><i>n</i></sup>,<b>Z</b>) puede identificarse con el <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_exterior" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Álgebra exterior">álgebra exterior</a> sobre <b>Z</b>-<a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(matem%C3%A1ticas)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Módulo (matemáticas)">módulo</a> <b>Z</b><sup style="line-height: 1em;"><i>n</i></sup> cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia <i>n</i>.</div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=4" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Aplicaciones">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Aplicaciones"><div style="text-align: justify;">Aplicaciones</div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura:</div><div class="thumb tright" style="background-color: transparent; clear: right; float: right; line-height: 19px; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;"><div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 222px;"><div style="text-align: justify;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus-with-seven-colours.png" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="100" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Torus-with-seven-colours.png/220px-Torus-with-seven-colours.png" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="220" /></a></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torus-with-seven-colours.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.17/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; text-align: justify; vertical-align: middle;" width="15" /></a></div><div style="text-align: justify;">Toro representado mediante la identificación de los bordes de un rectángulo. El toro obtenido tiene 7 colores en subrectánglos.</div></div></div></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Magnetismo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">magnetismo</a>, se enrolla una <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bobina" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Bobina">bobina</a> con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">campo magnético</a> dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Im%C3%A1n_(f%C3%ADsica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Imán (física)">imán</a>; se coloca un <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Material_ferromagn%C3%A9tico&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Material ferromagnético (aún no redactado)">material ferromagnético</a> en el entrehierro y se imprime una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">corriente eléctrica</a> por la <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bobina" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Bobina">bobina</a>. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y éste queda magnetizado, formando un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Im%C3%A1n_(f%C3%ADsica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Imán (física)">imán</a>.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Uno de los sistemas más promisorios para obtener electridad a partir de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Fusi%C3%B3n_nuclear" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">fusión nuclear</a> controlada se basa en el confinamiento magnético del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Plasma_(estado_de_la_materia)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Plasma (estado de la materia)">plasma</a> a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Tokamak" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">tokamak</a> o el <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Thorus&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Thorus (aún no redactado)">Thorus</a>, también muchos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Acelerador_de_part%C3%ADculas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Acelerador de partículas">aceleradores de partículas</a> recurren a una forma cuasi toroidal.</div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=5" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Resultados">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Resultados"><div style="text-align: justify;">Resultados</div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Teorema de los cuatro colores</a> se convierte en Teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores.</div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; line-height: 19px; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=6" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Curiosidades">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Curiosidades"><div style="text-align: justify;">Curiosidades</div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">En el mundo de los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Videojuego_de_estrategia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Videojuego de estrategia">videojuegos de estrategia</a> es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Norte" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">norte</a> reaparecen en el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sur" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">sur</a>, como si le hubiesen <i>dado la vuelta al mundo</i>. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Oriente" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">oriente</a>, reaparecen en el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Occidente" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">occidente</a> y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de<a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mundo_toroide&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Mundo toroide (aún no redactado)">mundo toroide</a> por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudo impresión de un mundo esférico.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;">Cientos de objetos cotidianos tienen forma de toro: un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%B3nut" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">dónut</a>, una rosquilla, la cámara de un neumático, etc.</div></span>Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-21954124643449557162011-03-01T20:55:00.002+01:002011-03-01T20:55:58.145+01:00Simon Antoine Jean L'Huillier<span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Simon Antoine Jean L'Huillier</b> (n. <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ginebra_(Suiza)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Ginebra (Suiza)">Ginebra</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Suiza" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Suiza</a> el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840) fue un matemático suizo descendiente de una familia <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Hugonote" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Hugonote">hugonote</a>originaria de la ciudad de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A2con" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Mâcon</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Francia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Francia</a>. Es conocido por sus investigaciones sobre el concepto de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">límite matemático</a> (fue quien introdujo la notación <i>lim</i>). También se le deben muchas fórmulas de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Trigonometría esférica</a>, trabajos en el campo del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Análisis matemático</a> y la generalización de la fórmula de Euler relativa al <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_planar" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Grafo planar">grafo planar</a> y a los poliedros regulares.</span></div><table class="toc" id="toc" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(170, 170, 170); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(170, 170, 170); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(170, 170, 170); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; padding-bottom: 5px; padding-left: 5px; padding-right: 5px; padding-top: 5px; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td><div id="toctitle" style="text-align: center;"><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; color: black; display: inline; font-weight: bold; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: auto;">Contenido</h2> <span class="toctoggle">[<a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#" id="togglelink" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">ocultar</a>]</span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-1 tocsection-1" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Rese.C3.B1a_biogr.C3.A1fica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Reseña biográfica</span></a><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 2em; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-2 tocsection-2" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Estudios" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Estudios</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-3" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Residencia_en_Polonia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Residencia en Polonia</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-4" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Residencia_en_Alemania_y_Suiza" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">Residencia en Alemania y Suiza</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-5" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Principales_contribuciones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1.4</span> <span class="toctext">Principales contribuciones</span></a><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 2em; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-3 tocsection-6" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Generalizaci.C3.B3n_de_la_f.C3.B3rmula_de_Euler" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1.4.1</span> <span class="toctext">Generalización de la fórmula de Euler</span></a></li>
</ul></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-7" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Otras_obras" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">1.5</span> <span class="toctext">Otras obras</span></a></li>
</ul></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-8" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier#Fuentes" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Fuentes</span></a></li>
</ul></td></tr>
</tbody></table><h1 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Reseña biográfica">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Rese.C3.B1a_biogr.C3.A1fica"><div style="text-align: justify;">Reseña biográfica</div></span></span></h1><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=2" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Estudios">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Estudios"><div style="text-align: justify;">Estudios</div></span></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La familia L'Huillier (también referida como <b>Lhuilier</b> o <b>L'Huilier</b>) fue obligada a huir de Francia cuando <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Luis_XIV" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Luis XIV">Luis XIV</a> revocó el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Edicto_de_Nantes" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Edicto de Nantes</a>, lo que dificultó notablemente las condiciones de vida de los protestantes en Francia. La mencionada familia se estableció desde <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1691" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1691</a> definitivamente en la ciudad de Ginebra.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En la conocida Academia de Calvino de esa ciudad L'Huillier se distinguió como un alumno sobresaliente. Estudió matemáticas con <b>Louis Bertrand</b> (n.<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1731" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1731</a>,f.<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1812" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1812</a>), un discípulo de<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Leonhard Euler</a>. En física, fue discípulo de <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Georges-Louis_Le_Sage" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Georges-Louis Le Sage</a></b>, por intermedio de quien consiguió un contrato como tutor en la familia <b>Rilliet-Plantamour</b>, cargo que ejerció por un período de dos años.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=3" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Residencia en Polonia">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Residencia_en_Polonia"><div style="text-align: justify;">Residencia en Polonia</div></span></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por intermedio de Le Sage, L'Huillier había conocido a un antiguo discípulo de aquel,<b>Christoph Pfleiderer</b> quien había sido nombrado profesor en la Academia Militar de Varsovia. Pflederer tenía en el año <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1775" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1775</a> la misión de organizar un concurso para seleccionar el mejor autor para la escritura de libros de texto de matemáticas para las escuelas polacas y L'Huillier ganó dicho concurso. El príncipe polaco <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Adam_Kazimierz_Czartoryski" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Adam Kazimierz Czartoryski</a> de Pulawy fue de tal manera impresionado por L'Huillier, que en el año <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1777" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1777</a> le ofreció un contrato como tutor de su hijo <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Adam_Jerzy_Czartoryski" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Adam Jerzy Czartoryski</a>, cargo en el que se desempeñó en Pulawy durante los once años siguientes, ciudad donde efectuó numerosas publicaciones.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">L'Huillier participó a un concurso establecido por la Academia de Berlín en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1784" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1784</a> relativo a la formulación fundamental del concepto de infinito en el cálculo diferencial. Con su trabajo del año <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1786" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1786</a> titulado "Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs" (<i>Exposición elemental de los principios del cálculo superior</i>) obtuvo L'Huillier el premio de dicho certamen. Dicho trabajo puede considerarse como uno de los precursores de las obras modernas sobre análisis, que continúan utilizando las notaciones introducidas por L'Huillier respecto del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Límite matemático">límite</a> (<i>lim</i>) y otros símbolos. Por otra parte, L'Huillier introdujo la noción de doble límite (por la derecha y por la izquierda). En dicha obra, se utiliza también por primera vez la denominación de "<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Serie de Taylor</a>" referida al desarrollo polinomial de una función derivable según los trabajos de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Brook Taylor</a> (n. <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1685" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1685</a> f. <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1731" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1731</a>).</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=4" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Residencia en Alemania y Suiza">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Residencia_en_Alemania_y_Suiza"><div style="text-align: justify;">Residencia en Alemania y Suiza</div></span></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1789" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1789</a> L'Huillier regresó a Suiza, pero en razón de la inestabilidad política reinante decidió radicarse en <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/T%C3%BCbingen" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Tübingen">Tübingen</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Alemania" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Alemania</a>, donde su amigo Pfleiderer enseñaba matemáticas. Permaneció en esta ciudad hasta <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1794" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1794</a>. Le fue ofrecido un puesto de profesor en la ciudad de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Leiden" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Leiden</a>, pero L'Huillier preferió postular por la cátedra que había ocupado Louis Bertrand en Ginebra, la que logró obtener. Fue contratado en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1795" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1795</a> por la Academia de Ginebra para dicho cargo en el que permaneció hasta el año <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1823" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1823</a>. Uno de sus discípulos más conocidos fue<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Jacques_Charles_Fran%C3%A7ois_Sturm" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Jacques Charles François Sturm</a>.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El año <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1795" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1795</a> fue rico en acontecimientos para L'Huillier: la obra con la que había ganado el premio de la Academia de Berlín fue traducida y editada en latín bajo el título <i>"Principiorum Calculi Differentialis et Integralis expositio elementaris ad normam dissertationis ab Academia Scient. Reg. Prussica anno 1786. Praemii Honore decoratae elaborata. Tubingae, apud Joh. Georg. Cottam, 1795</i>". En ese año también contrajo matrimonio con <b>Marie Cartier</b>, matrimonio del cual nacieron tres hijos.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=5" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Principales contribuciones">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Principales_contribuciones"><div style="text-align: justify;">Principales contribuciones</div></span></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Durante ese período, L'Huillier participó activamente en la vida política de Ginebra. Fue además un emérito miembro de las Academias de Berlín, de Göttingen, de St. Petersburgo y de la "Royal Societey" de Londres. Elaboró asimismo sus trabajos sobre <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Poligonometr%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Poligonometría</a> titulados (en francés) "De la mesure des figures rectilignes" (<i>Sobre la medición de figuras rectilíneas</i>) y su "Abrégé d'isopérimétrie élémentaire ou De la dépendance mutuelle des grandeurs et des limites des figures" (<i>Compendio de isoperimetría elemental o sobre la dependencia mutua de magnitudes y límites de figuras</i>). Trabajó asimismo sobre las fórmulas de Euler relativas a los polideros regulares y corrigió la solución dada por Euler al conocido "<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Problema de los puentes de Königsberg</a>".</span></div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; font-weight: normal; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=6" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Generalización de la fórmula de Euler">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Generalizaci.C3.B3n_de_la_f.C3.B3rmula_de_Euler"><div style="text-align: justify;">Generalización de la fórmula de Euler</div></span></span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Según la fórmula de Euler, en todo poliedro regular, si a la suma de la cantidad de vértices (V) más la cantidad de caras (C) se le resta la cantidad de aristas (A) el resultado es igual a 2:</span></div><dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">V + C - A = 2</span></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoy en día se dice que este resultado, llamado <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Euler" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Característica de Euler</a>, es un invariante topológico. L'Huillier generalizó la fórmula de Euler a poliedros con orificios. La invariante es así</span></div><dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">V + C - A = 2 - 2G</span></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">donde G representa la cantidad de orificios. De esta fórmula más general se deriva que la característica de Euler en el caso especial de un poliedro regular (G=0) es igual a 2; en el caso de un <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(matem%C3%A1tica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Toro (matemática)">toro</a> (G=1), es igual a cero.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Las investigaciones de L'Huillieur significaron un paso importante en el desarrollo de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Topología</a>. Recién el matemático francés <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Henri Poincaré</a> generalizó totalmente la fórmula de Euler.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&section=7" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Otras obras">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Otras_obras"><div style="text-align: justify;">Otras obras</div></span></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1796" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1796</a> y <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1797" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1797</a> L'Huillier escribió cuatro artículos sobre <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Teoría de la probabilidad</a> que fueron publicados en el volumen 1796 de las Memorias de la Academia de Berlín.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1804" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1804</a> L'Huillier escribió un libro de texto en dos volúmenes con el título en francés "Eléments raisonnés d'Algèbre: publiés à l'usage des étudians en philosophie" (<i>Elementos de Algebra razonada: editado para el uso de los estudiantes de filosofía</i>), obra que puede considerarse como la continuación de los libros de texto que había escrito durante su estadía en Polonia.</span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-49762613876761936662011-02-26T13:19:00.002+01:002011-02-26T13:19:53.385+01:00Carl Louis Ferdinand von Lindemann<span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Carl Louis Ferdinand von Lindemann</b> (* <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/12_de_abril" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="12 de abril">12 de abril</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1852" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1852">1852</a> en <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Hannover" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Hannover">Hannover</a>; † <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/6_de_marzo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="6 de marzo">6 de marzo</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1939" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1939">1939</a> en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAnich" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Múnich">Múnich</a>) fue un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Matemático">matemático</a> <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Alemania" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Alemania">alemán</a>. Es conocido por la demostración en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1882" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1882">1882</a> de que el número <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Número pi">π</a> es un <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendental" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Número trascendental">número trascendental</a>, por ejemplo, no es cero de ningún <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Polinomio">polinomio</a> con<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Número racional">coeficientes racionales</a>.</span></div><table class="toc" id="toc" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(170, 170, 170); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(170, 170, 170); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(170, 170, 170); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; padding-bottom: 5px; padding-left: 5px; padding-right: 5px; padding-top: 5px; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td><div id="toctitle" style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; color: black; display: inline; font-weight: bold; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: auto;">Contenido</h2> <span class="toctoggle">[<a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann#" id="togglelink" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">ocultar</a>]</span></span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-1 tocsection-1" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann#Biograf.C3.ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Biografía</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann#Prueba_de_trascendencia_de_.CF.80" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Prueba de trascendencia de π</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-3" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann#Otros" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Otros</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-4" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann#Enlaces_externos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Enlaces externos</span></span></a></li>
</ul></td></tr>
</tbody></table><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann&action=edit&section=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Biografía">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Biograf.C3.ADa"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Biografía</span></div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Lindemann nació en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Han%C3%B3ver" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Hanóver">Hanóver</a>, Alemania. Su padre, Ferdinand Lindemann, enseñaba Lenguas Modernas en Gymnasium (escuela para estudiantes sobresalientes) en Hanóver. Su madre, Emilie Crusius, era la hija del director. La familia se mudó a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Schwerin" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Schwerin">Schwerin</a>, donde el joven Ferdinand acudió a la escuela. Estudió matemáticas en <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6ttingen" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Göttingen">Göttingen</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Erlangen" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Erlangen">Erlangen</a>, y <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAnich" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Múnich">Múnich</a>. En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1873" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1873">1873</a>, supervisado por <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Felix Klein">Felix Klein</a>, obtuvo el título de Doctor, y por ello, en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1877" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1877">1877</a>, obtuvo la plaza de profesor en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Friburgo_de_Brisgovia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Friburgo de Brisgovia">Freiburg</a>. Su tesis versó sobre <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_eucl%C3%ADdea" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Geometría no euclídea">geometría no euclídea</a>, y se tituló </span><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Über unendlich kleine Bewegu</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;">ngen und über Kraftsysteme bei allgemeiner projektivischer Massbestimmung</span></i><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;">. Entre los años </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1883" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="1883">1883</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;"> y </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1893" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="1893">1893</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;"> fue profesor en</span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nigsberg" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="Königsberg">Königsberg</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;">. Se sabe también que a sus clases asistieron alumnos tan prestigiosos como </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="David Hilbert">David Hilbert</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;"> y </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="Hermann Minkowski">Hermann Minkowski</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;">.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann&action=edit&section=2" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Prueba de trascendencia de &pi;">editar</a>]</span><span class="mw-headline" id="Prueba_de_trascendencia_de_.CF.80">Prueba de trascendencia de <span class="texhtml" style="font-family: serif;">π</span></span></h2><div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1882" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1882">1882</a>, publicó el resultado por el que es más conocido, la trascendencia de <span class="texhtml" style="font-family: serif;">π</span>. Sus métodos son parecidos a los que, nueve años antes, permitieron a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Charles Hermite">Charles Hermite</a> demostrar que<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Número e"><i>e</i>, la base de los logaritmos naturales,</a> es trascendente. Anteriormente a la publicación de la demostración de Lindemann, se sabía que <i>si</i> <span class="texhtml" style="font-family: serif;">π</span> era trascendente, entonces el clásico problema griego de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_c%C3%ADrculo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Cuadratura del círculo">cuadratura del círculo</a> no podía ser resuelto.</div><div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><br />
</div><div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 12px;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: underline;"><img alt="" class="thumbimage" height="267" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg/220px-Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="220" /></a></span></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; font-size: 11px; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; vertical-align: middle;" width="15" /></a></div>Ferdinand von Lindemann.</div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-76183445689411324622011-02-26T13:05:00.000+01:002011-02-26T13:05:28.619+01:00Teoría de Grupos<span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Álgebra abstracta">álgebra abstracta</a>, la <b>teoría de grupos</b> estudia las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Estructura algebraica">estructuras algebraicas</a> conocidas como <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Grupo (matemática)">grupos</a>. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Anillo (matemáticas)">anillos</a>, los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Cuerpo (matemática)">cuerpos</a> o los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Espacio vectorial">espacios vectoriales</a>. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Física">física</a> y la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Química">química</a>, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Simetría">simetría</a>.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El orden de un grupo es su <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cardinalidad" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Cardinalidad">cardinalidad</a>; en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finito" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Conjunto finito">finito</a> de orden <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Infinito">infinito</a>. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.</span></div><table class="toc" id="toc" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(170, 170, 170); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(170, 170, 170); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(170, 170, 170); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; padding-bottom: 5px; padding-left: 5px; padding-right: 5px; padding-top: 5px; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td><div id="toctitle" style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; color: black; display: inline; font-weight: bold; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: auto;">Contenido</h2> <span class="toctoggle">[<a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#" id="togglelink" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">ocultar</a>]</span></span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-1 tocsection-1" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Historia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Historia</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Definiciones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Definiciones</span></span></a><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; list-style-type: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 2em; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left;"><li class="toclevel-2 tocsection-3" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Grupos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Grupos</span></span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-4" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Notaci.C3.B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Notación</span></span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-5" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Ejemplos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Ejemplos</span></span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-6" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Operaciones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2.4</span> <span class="toctext">Operaciones</span></span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-7" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Categor.C3.ADa_de_grupos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">2.5</span> <span class="toctext">Categoría de grupos</span></span></a></li>
</ul></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-8" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Teor.C3.ADa_geom.C3.A9trica_de_los_grupos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Teoría geométrica de los grupos</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-9" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#Referencias" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Referencias</span></span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-10" style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Véase también</span></span></a></li>
</ul></td></tr>
</tbody></table><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Historia">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Historia"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Historia</span></div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Las raíces históricas de la teoría de grupos son la <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_las_ecuaciones_algebraicas&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Teoría de las ecuaciones algebraicas (aún no redactado)">teoría de las ecuaciones algebraicas</a>, la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Teoría de números">teoría de números</a> y la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Geometría">geometría</a>. <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Euler" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Euler">Euler</a>, <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Gauss" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Gauss">Gauss</a>, <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Lagrange">Lagrange</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Niels Henrik Abel">Abel</a> y <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Galois" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Galois">Galois</a> fueron los investigadores iniciadores de ésta ciencia. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó ésta teoría con la <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_cuerpos&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Teoría de cuerpos (aún no redactado)">teoría de cuerpos</a> resultando en la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Teoría de Galois">teoría de Galois</a>. Otros importantes matemáticos en este campo incluyen a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayley" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Arthur Cayley">Cayley</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Emil Artin">Emil Artin</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Emmy Noether">Emmy Noether</a>, <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Peter Ludwig Mejdell Sylow (aún no redactado)">Sylow</a> entre muchos otros. Fue <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Walter_von_Dick&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Walter von Dick (aún no redactado)">Walter von Dick</a> quién en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1882" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1882">1882</a>, dio la moderna definición de grupo.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=2" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Definiciones">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Definiciones"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Definiciones</span></div></span></h2><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; font-weight: normal; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=3" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Grupos">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Grupos"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Grupos</span></div></span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un grupo <img alt="(G, \circ)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/4/2/b423d3ea50bf1be1d1b640b49482f18b.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> es un conjunto G en el que se ha definido una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Operación matemática">ley de composición interna</a> <img alt="\circ" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/c/10c3e97d2a3eda0d182b81d48f231b62.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> que satisface los siguientes <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Axioma">axiomas</a>:</span></div><ol style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 3.2em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Asociatividad">Asociatividad</a>: <img alt="a \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c, \forall a,b,c \in G" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/f/d1fbcb21ca27f75c1072a20e9f908143.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Elemento neutro">Elemento neutro</a>: <img alt="\exists e \in G : e \circ a=a \circ e=a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/b/3/7b389a6803a6f3301745e363393b0fdb.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Elemento simétrico">Elemento simétrico</a>: <img alt="\forall a \in G\quad \exists a^{-1} \in G : a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/f/92fbf83f3f5207f250cb4ffcb7e70202.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></li>
</ol><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de objetos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna que los relaciona. Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los objetos del grupo.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa:</span></div><dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="a \circ b = b \circ a \quad \forall a \in G" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/a/e/1aed5fd8a09d8fbc2ac83d9852a5d3b5.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; font-weight: normal; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=4" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Notación">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Notaci.C3.B3n"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Notación</span></div></span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se habla de <b>notación aditiva</b> cuando se representa la ley de composición interna como "<span class="texhtml"><i>a</i> + <i>b</i></span>", y el elemento neutro como " 0 ". Por otro lado, la <b>notación multiplicativa</b> es aquella en la que la ley de composición interna se representa como "<img alt="a \cdot b" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/3/f/23f67728366e547d92590bc017f83b94.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />", o "<span class="texhtml"><i>a</i><i>b</i></span>", y el elemento neutro como " 1 ".</span></div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; font-weight: normal; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=5" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Ejemplos">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Ejemplos"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Ejemplos</span></div></span></h3><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/vector/images/bullet-icon.png?1); list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="(\mathbb{Z},+)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/e/d/dedbcfa9cc228a8c33ea486b0082fadc.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />, el conjunto de <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Números enteros">números enteros</a> con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el <b>0</b>, y el simétrico de <b>x</b>, es <b>-x</b>.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="(\mathbb{R},+)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/5/d/c5d24e4e5ac682cdd9f17e76334bc4e3.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />, el conjunto de los <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Números reales">números reales</a> con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el <b>0</b>, y el simétrico de <b>x</b>, es <b>-x</b>.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/a/25a44b87dc92aa1b54e1d4c09564dcf8.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />, el conjunto de los números reales (excluyendo al <b>0</b>) con la multiplicación, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el <b>1</b>, y el simétrico de <b>x</b> es <b>1/x</b>. Notar que al no tener el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cero" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Cero">cero</a> elemento simétrico multiplicativo, se lo debe excluir.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El conjunto de <b>todas las biyecciones</b> de un conjunto <i>X</i> - simbolizado por <i>S(X)</i> - junto con la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_compuesta" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Función compuesta">composición de funciones</a>, es un grupo <b>no abeliano</b> (si la cardinalidad de <i>X</i> es mayor que dos) y se llama <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n_y_grupo_sim%C3%A9trico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Permutación y grupo simétrico">grupo simétrico</a> de <i>X</i>.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El conjunto de matrices rectangulares de dimensiones <img alt="n\times m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/2/252d3754c0db62a55b9e25c870a524a5.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /> con la suma, es un grupo abeliano.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El conjunto de matrices cuadradas con determinante diferente de cero con la multiplicación (<a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_general_lineal" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Grupo general lineal">Grupo general lineal</a>), no es abeliano.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Las <b>clases de homotopía</b> de trayectorias continuas <img alt="S^1\to X" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/6/9/969a85bbf41c1db08225d76a2317ea04.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /> en un espacio topológico <i>X</i> forman un grupo no necesariamente abeliano. Ésta construcción es el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Grupo fundamental">grupo fundamental</a> de <i>X</i>.</span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/vector/images/bullet-icon.png?1); list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El grupo fundamental de un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1-esfera" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="1-esfera">círculo</a> (circle, cercle, Kreis) es el <b>grupo cíclico infinito</b>; <img alt="\mathbb{Z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/b/1/0b100eeff3848a15dbb46291e7fe52ad.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El de la <b>esfera</b> <span class="texhtml"><i>S</i><sup style="line-height: 1em;">2</sup></span> es trivial <i>= 0</i>.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">De un <b>toro</b> es <img alt="\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/6/4/5643f30c744e75ffa952372acf28d7b7.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">De un <b>toro sin un disco</b> es el grupo libre de orden dos, <span class="texhtml"><i>F</i><sub style="line-height: 1em;">2</sub></span>. De un <b>toro sin dos discos disjuntos</b>; <span class="texhtml"><i>F</i><sub style="line-height: 1em;">3</sub></span>.</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Del <b>plano proyectivo</b> es <img alt="\mathbb{Z}_2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/c/f/1cf282d86164c683d66cf5f592119b68.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El de la <b>botella de Klein</b> tiene la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Presentaci%C3%B3n_de_grupo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Presentación de grupo">presentación</a>; <img alt="\langle a,b: aba=b\rangle" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/8/ca8663337fb2db0e481afeef8d8c30ff.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /> y que corresponde al <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_semidirecto" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Producto semidirecto">producto semidirecto</a> de <img alt="\mathbb{Z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/b/1/0b100eeff3848a15dbb46291e7fe52ad.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /> con <img alt="\mathbb{Z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/b/1/0b100eeff3848a15dbb46291e7fe52ad.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />.</span></li>
</ul></li>
</ul><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; font-weight: normal; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=6" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Operaciones">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Operaciones"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Operaciones</span></div></span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Entre dos grupos <i>G</i>, <i>H</i> puede haber <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Morfismo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Morfismo">morfismos</a>, i.e. funciones que son compatibles con las operaciones en cada uno de ellos. Si <img alt="\phi\colon G\to H" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/c/cacd36b3aded6c02418a4f169650c23a.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> es un <b>homomorfismo</b> entonces obedece</span></div><dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/8/5/58563d82945883867d3ac6e7e2510ee9.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" /></span></dd></dl></dd></dl><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">donde hemos hecho la convención de escribir <span class="texhtml"><i>a</i><i>b</i></span> para indicar la operación de <i>a</i> con <i>b</i> en <i>G</i>, y <span class="texhtml">φ(<i>a</i>)φ(<i>b</i>)</span> la operación de <span class="texhtml">φ(<i>a</i>)</span> con <span class="texhtml">φ(<i>b</i>)</span> en <i>H</i>.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El conjunto <span class="texhtml">φ<i>S</i></span> es un subgrupo en <i>H</i> cuando <i>S</i> es un subgrupo en <i>G</i>.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Si transformamos un <b>conmutador</b>: <span class="texhtml"><i>a</i><i>b</i><i>a</i> <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup><i>b</i> <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup></span> se obtiene: <span class="texhtml">φ(<i>a</i><i>b</i><i>a</i> <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup><i>b</i> <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup>) = φ(<i>a</i>)φ(<i>b</i>)(φ(<i>a</i>)) <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup>(φ(<i>b</i>)) <sup style="line-height: 1em;">− 1</sup></span>.</span></div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; font-weight: normal; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=7" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Categoría de grupos">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Categor.C3.ADa_de_grupos"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Categoría de grupos</span></div></span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Desde el punto de vista de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_categor%C3%ADas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Teoría de categorías">teoría de categorías</a>, la teoría de grupos podría catalogarse como una categoría llamada <b>categoría de grupos</b>, debido a que en ella se estudia a los grupos y sus <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Morfismo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Morfismo">morfismos</a>. La categoría de grupos es muy grande, pero puede armarse una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Relación de equivalencia">relación de equivalencia</a> en esta categoría para que se <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Descomposición (matemática)">factorice</a>: la relación entre grupos de ser<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Isomorfismo">isomorfos</a> reduce cuestiones estructurales de la categoría de grupos a la categoría de grupos-<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Módulo">módulo</a>-los-isomorfos. En esta reducción la operación de unión disjunta la convierte en una<a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Categor%C3%ADa_monoidal&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Categoría monoidal (aún no redactado)">categoría monoidal</a>.</span></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupos&action=edit&section=8" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Teoría geométrica de los grupos">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Teor.C3.ADa_geom.C3.A9trica_de_los_grupos"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Teoría geométrica de los grupos</span></div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los más actuales temas de investigación en la teoría de grupos tienen que ver con las modernas técnicas de la topología. Una manera estándar de construir nuevos grupos a partir de los conocidos son los</span></div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/vector/images/bullet-icon.png?1); list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>productos libres</b>,</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>productos libres amalgamados</b> y las</span></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>HNN-extensiones</b>.</span></li>
</ul><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">La gran variedad de técnicas topológi</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;">cas pueden ser aplicadas desde que se sabe que es posible construir siempre un espacio topológico (de hecho un </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/CW-complejo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="CW-complejo">CW-complejo</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;"> dos-dimensional) de tal manera que el </span><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; font-family: sans-serif; font-size: 13px; text-decoration: none;" title="Grupo fundamental">grupo fundamental</a><span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;"> de este espacio es el grupo dado.</span></div><div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-35688798423907264122011-02-26T13:01:00.000+01:002011-02-26T13:01:15.296+01:00Évariste Galois<span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Évariste Galois</b> (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/25_de_octubre" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">25 de octubre</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1811" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1811</a> - <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/31_de_mayo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">31 de mayo</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1832" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1832</a>) Era un joven <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">matemático</a> <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Francia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Francia">francés</a> nacido en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bourg-la-Reine" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Bourg-la-Reine</a>. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_necesaria_y_suficiente" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">condición necesaria y suficiente</a> para que un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">polinomio</a> sea resuelto por <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Radical_(matem%C3%A1ticas)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Radical (matemáticas)">radicales</a>, dando una solución a un problema que había permanecido sin resolver. Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Teoría de Galois">teoría</a> que lleva su nombre, una rama principal del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Álgebra abstracta">álgebra abstracta</a>. Fue el primero en utilizar el término "<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Grupo (matemática)">grupo</a>" en un contexto matemático. La <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Teoría de Galois">teoría</a>constituye una de la bases matemáticas de la modulación <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/CDMA" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">CDMA</a> utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_navegaci%C3%B3n_por_sat%C3%A9lite" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Sistemas de navegación por satélite">Sistemas de navegación por satélite</a>, como <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/GPS" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="GPS">GPS</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/GLONASS" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">GLONASS</a>, etc.</span></div><div id="Biograf.C3.ADa"></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="editsection" style="float: right; margin-left: 5px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">[<a href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89variste_Galois&action=edit&section=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Editar sección: Biografía">editar</a>]</span></span><span class="mw-headline" id="Biografía"><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Biografía</span></div></span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Galois nació en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bourg-la-Reine" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Bourg-la-Reine</a>, una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Comuna_francesa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Comuna francesa">comuna</a> a las afueras de París. Su padre fue <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Nicholas-Gabriel_Galois&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Nicholas-Gabriel Galois (aún no redactado)">Nicholas-Gabriel Galois</a>, director de la escuela de la localidad que llegaría a ser elegido alcalde de la comuna al frente del partido liberal, partidario de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Napole%C3%B3n_Bonaparte" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Napoleón Bonaparte">Napoleón</a>. Su madre, Adelaide-Marie, era una persona de indudables cualidades intelectuales hija de una familia de abogados muy influyente de París.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hasta los doce años, Évariste fue educado por su madre, junto con su hermana mayor Nathalie-Theodore, consiguiendo una sólida formación en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADn" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">latín</a> y <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Idioma griego">griego</a>, así como en los clásicos. Era un muchacho muy inteligente, pero aunque muchos consideran que fue un niño prodigio de las matemáticas, no es probable que durante su educación más temprana el joven tuviera una profunda exposición a las matemáticas (aparte de la aritmética elemental) y tampoco se tiene noticia de que se hubieran dado casos de talento matemático especial en su familia.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Su educación académica empezó a la edad de 12 años cuando ingresó en el liceo Royal de Louis-le-Grand, de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%ADs" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">París</a>, donde habían estudiado <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Robespierre" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Robespierre">Robespierre</a> y <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADctor_Hugo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Víctor Hugo">Víctor Hugo</a>. Allí tuvo sus primeros escarceos de tintes políticos (un enfrentamiento con el director del internado) que se saldaron con la expulsión de varios alumnos, entre los cuales él no estaba, pero que forjaron una incipiente rebeldía hacia la autoridad (especialmente un ideario antieclesiástico y antimonárquico que mantuvo hasta su muerte). Durante los dos primeros años en el Louis-le-Grand, Galois tuvo un rendimiento normal e incluso llegó a ganar algunos premios en griego y latín. Pero en tercero, su trabajo de retórica fue reprobado y tuvo que repetir curso. Fue entonces cuando Galois entró en contacto con las matemáticas: tenía entonces 15 años. Después de entrar en las matemáticas, tuvo interés en la geografía.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El programa de matemáticas del liceo no difería mucho del resto. Sin embargo, Galois encontró en él el placer intelectual que le faltaba. El curso impartido por Ms Vernier, despertó el genio matemático de Galois. Tras asimilar sin esfuerzo el texto oficial de la escuela y los manuales al uso, Galois empezó con los textos más avanzados de aquella época: estudió la geometría de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Adrien-Marie Legendre">Legendre</a> y el álgebra de<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Joseph-Louis de Lagrange">Lagrange</a>. Galois profundizó considerablemente en el estudio del álgebra, una materia que entonces todavía tenía muchas lagunas y cuestiones oscuras. Y así llegó a conocer la cantidad de problemas sin resolver que encerraba aquella disciplina. Problemas que pasaron a ocupar la mayor parte de su tiempo de estudio. Empezó a descuidar las otras materias, atrayendo hostilidad de los profesores de humanidades. Incluso Vernier le sugirió la necesidad de trabajar más en otras disciplinas distintas.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sin embargo, Galois tenía una idea clara: quería ser matemático y quería entrar en la École Polytechnique. Así decidió presentarse con un año de antelación (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1828" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1828</a>) al examen de acceso. Al carecer de la formación fundamental en diversos aspectos y sin haber recibido el curso habitual preparatorio de matemáticas, Evariste fue rechazado. Galois no aceptó este rechazo inicial y ello aumentó su rebeldía y su oposición a la autoridad. No obstante, continuó progresando rápidamente en el estudio de las matemáticas durante el segundo curso impartido en el Louis-le-Grand, en este caso por Ms Richard, quien supo ver las cualidades del joven y solicitó que fuera admitido en la<a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89cole_Polytechnique" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="École Polytechnique">École Polytechnique</a>. Aunque la solicitud de Richard no fue atendida, la dedicación y el impulso que Galois recibió de su profesor tuvo unos resultados notables.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Siendo todavía estudiante del Louis-le-Grand, Galois logró publicar su primer trabajo (una demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dio con la clave para resolver un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo (las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin embargo, sus avances más notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">teoría de grupos</a>.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sin embargo, el destino no le iba a deparar muchos más éxitos. Pocos días antes de presentarse al segundo (y definitivo) examen de acceso a la École Polytechnique, el padre de Evariste se quitaba la vida. En este contexto Galois se presentó y, con sus habituales maneras rebeldes y su desprecio por la autoridad, se negó a seguir las indicaciones de los examinadores al rehusar justificar sus enunciados. Y, naturalmente, fue rechazado definitivamente.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Viéndose obligado considerar la menos prestigiosa École Normale, Galois se presentó a los exámenes de bachillerato (necesario para ser admitido) y esta vez fue aprobado gracias a su excepcional calificación en matemáticas. Galois fue admitido en la École Normale más o menos al mismo tiempo que sus revolucionarios trabajos sobre teoría de grupos eran evaluados por la Academia de Ciencias. Sin embargo, sus artículos nunca llegaron a ser publicados en vida de Galois. Inicialmente se lo envió a Cauchy, quien lo rechazó porque su trabajo tenía puntos en común con un reciente artículo publicado por <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Niels Henrik Abel">Abel</a>. Galois lo revisó y se lo volvió a remitir, y en esta ocasión, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Augustin Louis Cauchy">Cauchy</a> lo remitió a la academia para su consideración; pero <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Joseph Fourier">Fourier</a>, el secretario vitalicio de la misma y el encargado de su publicación, murió poco después de recibirlo y la memoria fue traspapelada. El premio fue otorgado<i>ex equo</i> a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Niels Henrik Abel">Abel</a> y a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Carl Gustav Jakob Jacobi">Jacobi</a>, y Evariste acusó a la academia de una farsa para desacreditarle.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A pesar de la pérdida de la memoria enviada a <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Joseph Fourier">Fourier</a>, Galois publicó tres artículos aquel mismo año en el <i>Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques</i> del <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bar%C3%B3n_de_F%C3%A9russac&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Barón de Férussac (aún no redactado)">Barón de Férussac</a>. Estos trabajos presentan los fundamentos de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Teoría de Galois</a> y, aunque se trataba de un trabajo inconcluso, prueban sin lugar a dudas que el joven había llegado más lejos que ningún otro matemático en el campo del álgebra relacionado con la resolución de ecuaciones polinómicas.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Para entonces, la vida de Galois empezaba a estar teñida de un marcado tinte político. En julio de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1830" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1830</a> los republicanos se levantaron y obligaron a exiliarse al rey <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Carlos_X_de_Francia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Carlos X de Francia">Carlos X</a>. No obstante, el triunfo de los republicanos, entre los que se encontraba el joven Galois, fue aplastado por la llegada al trono de un nuevo rey: <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Luis_Felipe_de_Orleans" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Luis Felipe de Orleans</a>. Galois participó activamente en las manifestaciones y sociedades republicanas. Fue expulsado por ello de la École Normale. En la primavera de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1831" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1831</a>, con apenas 19 años, Galois fue detenido y encarcelado durante más de un mes acusado de sedición, tras un desafiante brindis en nombre del rey. Inicialmente fue absuelto, pero volvió a ser arrestado por otra actitud sediciosa en julio y esta segunda vez pasó ocho meses en prisión.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Durante aquel año de 1831 Galois por fin había redondeado las cuestiones pendientes en su trabajo y lo había sometido a la consideración de <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Simeon Poisson">Poisson</a>, quien le recomendó que lo presentara de nuevo a la Academia. Más tarde, aquel mismo año, el propio Poisson recomendó a la Academia que rechazara su trabajo con la indicación de que "<i>sus argumentaciones no estaban ni lo suficientemente claras ni suficientemente desarrolladas para permitirles juzgar su rigor</i>". El propio Poisson, a pesar de su enorme prestigio matemático y de sus esfuerzos, no llegó a comprender los resultados que le presentaba aquella memoria. Galois recibió la carta de rechazo en prisión.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dos días antes de su muerte, Galois fue liberado de su encarcelamiento. Los detalles que condujeron a su duelo (supuestamente a causa de un lío de faldas) no están claros. Lo que queda para la historia es la noche anterior al evento. Evariste Galois estaba tan convencido de lo inmediato de su muerte que pasó toda la noche escribiendo cartas a su amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático. En estos últimos papeles describió someramente las implicaciones del trabajo que había desarrollado en detalle y anotó una copia del manuscrito que había remitido a la academia junto con otros artículos.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">El <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/30_de_mayo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">30 de mayo</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1832" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1832</a>, a primera hora de la mañana, Galois perdio un duelo de espadas contra el campeón de esgrima del ejercito frances, falleciendo al día siguiente a las diez de la mañana (probablemente de peritonitis) en el hospital de Cochin, después de rehusar los servicios de un sacerdote. Sus últimas palabras a su hermano Alfredo fueron: «¡No llores! Necesito todo mi coraje para morir a los veinte años».</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Las contribuciones matemáticas de Galois fueron publicadas finalmente en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1843" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1843</a> cuando <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Joseph Liouville</a> revisó sus manuscritos y declaró que aquel joven en verdad había resuelto el problema de Abel por otros medios que suponían una verdadera revolución en la teoría de las matemáticas empleadas. El manuscrito fue publicado en el número de octubre de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1846" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1846</a> del<i>Journal des mathématiques pures et appliquées</i>.</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"></div><table class="infobox_v2" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(180, 187, 200); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(180, 187, 200); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(180, 187, 200); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(180, 187, 200); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; clear: right; color: black; float: right; line-height: 1.4em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 1em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0.23em; padding-left: 0.23em; padding-right: 0.23em; padding-top: 0.23em; text-align: justify; width: 22.7em;"><tbody>
<tr><th class="cabecera humano" colspan="2" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #5d8aa8; background-image: url(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Picto_infobox_character.png); background-origin: initial; background-position: 100% 0%; background-repeat: no-repeat no-repeat; color: white; font-weight: bolder; height: 45px; line-height: 1.2em; text-align: center; vertical-align: middle;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Évariste Galois</span></th></tr>
<tr><td class="" colspan="2" style="text-align: center; vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Galois.jpg" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><img alt="Galois.jpg" height="268" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Galois.jpg/220px-Galois.jpg" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="220" /></a><br />
<span>Galois a los quince años, dibujado por un compañero de clase.</span></span></td></tr>
<tr class=""><th class="" scope="row" style="text-align: left; vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nacimiento</span></th><td class="" style="vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/25_de_octubre" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">25 de octubre</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1811" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1811</a><br />
<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bourg-la-Reine" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Bourg-la-Reine</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Francia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Francia</a></span></td></tr>
<tr class=""><th class="" scope="row" style="text-align: left; vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Fallecimiento</span></th><td class="" style="vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/31_de_mayo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">31 de mayo</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/1832" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">1832</a><br />
<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%ADs" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">París</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Francia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Francia</a></span></td></tr>
<tr class=""><th class="" scope="row" style="text-align: left; vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nacionalidad</span></th><td class="" style="vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span class="flagicon"><img alt="Bandera de Francia" class="thumbborder" height="13" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Flag_of_France.svg/20px-Flag_of_France.svg.png" style="border-bottom-color: rgb(221, 221, 221); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(221, 221, 221); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="20" /></span> <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Francia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">Francia</a></span></td></tr>
<tr class=""><th class="" scope="row" style="text-align: left; vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Campo</span></th><td class="" style="vertical-align: top;"><a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Matemática"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Matemática</span></a></td></tr>
<tr class=""><th class="" scope="row" style="text-align: left; vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Conocido por</span></th><td class="" style="vertical-align: top;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Trabajos sobre <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_ecuaciones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">teoría de ecuaciones</a> e <a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrales_abelianas&action=edit&redlink=1" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Integrales abelianas (aún no redactado)">integrales abelianas</a></span></td></tr>
</tbody></table><br />
<div class="thumb tright" style="background-color: transparent; clear: right; float: right; margin-bottom: 1.3em; margin-left: 1.4em; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; width: auto;"><div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: center; width: 252px;"><div style="text-align: justify;"><a class="image" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Evariste_galois.jpg" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; color: #0645ad; text-decoration: none;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="" class="thumbimage" height="323" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/250px-Evariste_galois.jpg" style="border-bottom-color: rgb(204, 204, 204); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(204, 204, 204); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(204, 204, 204); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(204, 204, 204); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; vertical-align: middle;" width="250" /></span></a></div><div class="thumbcaption" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; line-height: 1.4em; padding-bottom: 3px !important; padding-left: 3px !important; padding-right: 3px !important; padding-top: 3px !important; text-align: left;"><div class="magnify" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; float: right;"><a class="internal" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Evariste_galois.jpg" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; color: #0645ad; display: block; text-decoration: none;" title="Aumentar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.17/common/images/magnify-clip.png" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; border-bottom-style: none !important; border-color: initial !important; border-color: initial; border-left-style: none !important; border-right-style: none !important; border-top-style: none !important; border-width: initial !important; border-width: initial; display: block; text-align: justify; vertical-align: middle;" width="15" /></a></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">Evariste Galois.</div></span></div></div></div><br />
<div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><br />
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