Una hormiga amenazada

Fernando Blasco, profesor de la Universidad Politécnica de Madrid, presenta nuestro segundo desafío matemático. Coincidiendo con el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

NOTA IMPORTANTE: Por si queda alguna duda de la formulación del problema y a petición también de los lectores sordos, incluimos aquí el enunciado por escrito. Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. 

Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad  $$\frac{1}{3}$$ de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad $$\frac{1}{3}$$ de tomar cada una de las rutas. 

Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. 

a) ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? 
b) ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? 
c) ¿Y en el 8? 


SOLUCIÓN:

Al igual que en el problema anterior veamos unos conceptos previos:

En estadística, y específicamente en la teoría de la probabilidad, un Proceso Estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar; es una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Como hemos comentado un proceso estocástico recorre en el tiempo una sucesión de estados. El conjunto todos los posibles estados se llama espacio de estados. Los estados están representados por una variable continua y las transiciones de un estado al siguiente se pueden producir en todo momento, pero para determinar parámetros estadísticos es necesario discretizar el proceso, de forma que el sistema tenga una cantidad finita o infinita numerable estados y el tiempo se mida en un conjunto finito o infinito numerable de instantes.

Los procesos estocásticos se representan por medio de sus correspondientes grafos y los estados posibles por un pequeño círculo en cuyo interior se sitúa el nombre del estado. Si es posible una transición del estado i al estado k, se traza una flecha desde i hasta k, acompañada de la probabilidad de transición $$p_{ik}$$. Las probabilidades de transición cumplen las siguientes propiedades: 


La propiedad (2) indica que la suma de las probabilidades de todas las flechas que parten de un estado es igual a 1.

Un proceso estocástico está completamente determinado si se conoce además de las probabilidades de transición $$p_{ik}$$, el estado inicial en que se encuentra el sistema.

La siguiente figura muestra el grafo de un proceso aleatorio. Estados finales como 3 y 4 se llaman absorbentes. En general, un estado i es absorbente cuando $$p_{ii}=1$$. Al conjunto R={3, 4} de los estados absorbentes se le llama borde de S. Evidentemente, puede ocurrir que R sea el conjunto vacío.



Los estados de S que no pertenecen a R se llaman estados interiores. En el ejemplo anterior, los estados 1 y 2 son interiores. Un proceso estocástico se puede representar mediante recorridos en un grafo.

REGLAS DE LOS CAMINOS: 

La probabilidad de un camino dado es igual al producto de todas las probabilidades a lo largo de dicho camino.
La probabilidad pi de alcanzar un subconjunto T del borde R a partir de i es igual a la suma de las probabilidades de todos los caminos que conducen desde i hasta T.

REGLAS DEL VALOR MEDIO:

Supongamos un proceso aleatorio absorbente con un espacio de estados S={1, 2, …, n}. Nos interesa la probabilidad de que la absorción se produzca en un subconjunto determinado T del borde R y la duración media del recorrido hasta dicha absorción. En general, T está formado por un único estado absorbente.

Sea Pi= probabilidad de que, partiendo de i, la absorción tenga lugar en T⊂R.

mi= duración media del recorrido desde i hasta la absorción en R.

Entonces se cumple:

a)
 para los estados interiores.

b)  pi = 1 para todos los estados de T, pi = 0 para los estados de R que no están en T.

c)
 para todos los estados interiores.

d)  mi = 0 para todos los estados del borde R.

de a) Primera regla del valor medio: La probabilidad de un estado interior es igual a la media ponderada de las probabilidades de sus estados vecinos.

de c) Segunda regla del valor medio: El valor de espera de un estado interior es igual a la unidad más la media ponderada de los valores de espera de sus estados vecinos.

Solución: 

Se pueden representar las direcciones de los recorridos de la hormiga sobre las aristas del cubo por el siguiente grafo:

Sea $$P_{58}$$ la probabilidad de ir del vértice 5 al vértice 8 en un número indeterminado de aristas recorridas, y sean:

$$x_1=P_{58}$$
$$x_2=P_{18}$$
$$x_3=P_{17}$$

Hagamos ahora dos consideraciones importantes: 

1. Consideramos que la posibilidad de llegar a 8 partiendo de 1 es la misma que la de llegar a 8 desde 1 tras encontrarse en 1 después de haber recorrido un número indeterminado de aristas.
2. Consideramos además que algunos vértices tienen las mismas posiciones relativas en relación a 7 y 8 (1 y 2; 3 y 4; 5 y 6)

Entonces:

$$x_1=P_{58}=P_{48}=P_{37}=P_{67}$$
$$x_2=P_{18}=P_{27}$$
$$x_3=P_{17}=P_{28}$$

Cuando la hormiga se encuentra en un vértice la probabilidad de elegir una de las tres aristas es 1/3; entonces:
a) $$P_{18}=\frac{1}{3}\cdot{P_{58}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{48}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{28}}$$ (ya que desde 1 podemos ir a 5, 4 y 2)
b) $$P_{17}=\frac{1}{3}\cdot{P_{57}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{47}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{27}}$$ 
c)$$P_{58}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot{P_{68}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{18}}$$(ya que desde 5 podemos ir a 8 directamente, o pasando por 1 o por 6)
d) $$P_{57}=\frac{1}{3}\cdot{P_{67}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{17}}$$ (ya que no podemos pasar por 8)
e) $$P_{68}=P_{57}$$ (por simetría)

Sustituimos las probabilidades anteriores por $$x_1,x_2,x_3$$ y reducimos términos:

Sustituyendo directamente en la ecuación a):

 $$x_2=\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}$$, reduciendo términos:

$$3x_2=2x_1+x_3$$ (Ec. 1)

De la ecuación d):

$$P_{57}=\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}$$ 

De la ecuación c) y usando d) y e)

$$x_1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot{(\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3})}+\frac{1}{3}\cdot{x_2}$$, reduciendo términos:

$$8x_1=3+x_3+3x_2$$ (Ec.2)

Por último de b)

$$P_{17}=\frac{1}{3}\cdot{P_{57}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{47}}+\frac{1}{3}\cdot{x_2}$$

de d)$$P_{57}=\frac{1}{3}\cdot{x_1}}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}}$$

además 
$$P_{47}=P_{38}=\frac{1}{3}\cdot{P_{37}}+\frac{1}{3}\cdot{P_{17}}=\frac{1}{3}\cdot{x_1}}+\frac{1}{3}\cdot{x_3}}$$ 

Sustituyendo:

$$x_3=\frac{1}{3}\cdot{(\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3})}+\frac{1}{3}\cdot{(\frac{1}{3}\cdot{x_1}+\frac{1}{3}\cdot{x_3})}+\frac{1}{3}\cdot{x_2}$$, reduciendo términos:

$$7x_3=2x_1+3x_2$$ (Ec. 3)

Tenemos pues un sistema de 3 ecuaciones de lineales con 3 incógnitas. Colocamos los términos para aplicar la Regla de Cramer:

$$2x_1-3x_2+x_3=0$$
$$8x_1-3x_2-x_3=3$$
$$2x_1+3x_2-7x_3=0$$

Aplicando la Regla de Cramer:

$$\Delta=\left |{\begin{matrix}{2}&{-3}&{1}\\{8}&{-3}&{-1}\\{2}&{3}&{-7}\end{matrix}}\right |=-84$$

$$\Delta_1=\left |{\begin{matrix}{0}&{-3}&{1}\\{3}&{-3}&{-1}\\{0}&{3}&{-7}\end{matrix}}\right |=-54$$

$$\Delta_2=\left |{\begin{matrix}{2}&{0}&{1}\\{8}&{3}&{-1}\\{2}&{0}&{-7}\end{matrix}}\right |=-48$$

$$\Delta_3=\left |{\begin{matrix}{2}&{-3}&{0}\\{8}&{-3}&{3}\\{2}&{3}&{0}\end{matrix}}\right |=-36$$

$$\Longrightarrow{}$$

$$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-54}{-84}=\frac{9}{14}$$
$$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-48}{-84}=\frac{4}{7}$$
$$x_1=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-36}{-84}=\frac{3}{7}$$


Respuesta al problema:

a) ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? P = 0
b) ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7?  p17 = 3/7
c) ¿Y en el 8? p18 = 4/7


Hay más soluciones proporcionadas por lectores de éste blog, como la de nuestro amigo informático.


Yo he sido incapaz de encontrar la solución formal. 
Lo único que he podido es encontrar una solución 'empírica'. He mandado 1 millón de hormigas a recorrerlo y me he encontrado con los siguientes resultados:
Muertas en punto 8= 571357 (57,14%)
Muertas en punto 7= 428643 (42,86%)

Qué coincide con 4/7 y 3/7 respectivamente.


#include "stdafx.h"
#include "time.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

int movimientos[24]={2,3,5,1,4,6,1,4,7,2,3,8,1,6,7,2,5,8,3,5,8,4,6,7};

int calcular();
int mover(int pos);
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int c7,c8;
c7=0;c8=0;
for(int j=0;j<1000000;j++)
{
if(calcular()==7)
c7++;
else
c8++;
}
printf("c7=%d c8=%d",c7,c8);
scanf("%d",&c7);
return 0;
}

int calcular()
{
int i=1;
while(i!=7 && i!=8)
{
i=mover(i);
}
return i;

}
int mover(int pos)
{
int azar;
azar=rand()%3;

return movimientos[((pos-1)*3)+azar];
}


También existe una solución aplicando Cadenas de Markov, proporcionada por otro de nuestros lectores:


El recorrido de la hormiga sobre el cubo es una cadena de Markov finita sobre un conjunto de estados que son los vértices del cubo. Las probabilidades de pasar de un estado a otro vienen dadas por la matriz de transición P.


$$P=\begin{bmatrix}{P_{11}}&{P_{12}}&{P_{13}}&{P_{14}}&{P_{15}}&{P_{16}}&{P_{17}}&{P_{18}}\\{P_{21}}&{P_{22}}&{P_{23}}&{P_{24}}&{P_{25}}&{P_{26}}&{P_{27}}&{P_{28}}\\{P_{31}}&{P_{32}}&{P_{33}}&{P_{34}}&{P_{35}}&{P_{36}}&{P_{37}}&{P_{38}}\\{P_{41}}&{P_{42}}&{P_{43}}&{P_{44}}&{P_{45}}&{P_{46}}&{P_{47}}&{P_{48}}\\{P_{51}}&{P_{52}}&{P_{53}}&{P_{54}}&{P_{55}}&{P_{56}}&{P_{57}}&{P_{58}}\\{P_{61}}&{P_{62}}&{P_{63}}&{P_{64}}&{P_{65}}&{P_{66}}&{P_{67}}&{P_{68}}\\{P_{71}}&{P_{72}}&{P_{73}}&{P_{74}}&{P_{75}}&{P_{76}}&{P_{77}}&{P_{78}}\\{P_{81}}&{P_{82}}&{P_{83}}&{P_{84}}&{P_{85}}&{P_{86}}&{P_{87}}&{P_{88}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\\\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}}&{\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$$


Para resolver nuestro problema reorganizamos la matriz de manera que los estados absorbentes aparezcan primero:


$$\begin{bmatrix}{P_{88}}&{P_{87}}&{P_{81}}&{P_{82}}&{P_{83}}&{P_{85}}&{P_{85}}&{P_{86}}\\{P_{78}}&{P_{77}}&{P_{71}}&{P_{72}}&{P_{73}}&{P_{74}}&{P_{75}}&{P_{76}}\\{P_{18}}&{P_{17}}&{P_{11}}&{P_{12}}&{P_{13}}&{P_{14}}&{P_{15}}&{P_{16}}\\{P_{28}}&{P_{27}}&{P_{21}}&{P_{22}}&{P_{23}}&{P_{24}}&{P_{25}}&{P_{26}}\\{P_{38}}&{P_{37}}&{P_{31}}&{P_{32}}&{P_{33}}&{P_{34}}&{P_{35}}&{P_{36}}\\{P_{48}}&{P_{47}}&{P_{41}}&{P_{42}}&{P_{43}}&{P_{44}}&{P_{45}}&{P_{46}}\\{P_{58}}&{P_{57}}&{P_{51}}&{P_{52}}&{P_{53}}&{P_{54}}&{P_{55}}&{P_{56}}\\{P_{68}}&{P_{67}}&{P_{61}}&{P_{62}}&{P_{63}}&{P_{64}}&{P_{65}}&{P_{66}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\end{bmatrix}$$


Esta forma canónica la podemos descomponer en:


$$I=\begin{bmatrix}{P_{88}}&{P_{87}}\\{P_{78}}&{P_{77}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz Identidad 2x2}} $$


$$0=\begin{bmatrix}{P_{81}}&{P_{82}}&{P_{83}}&{P_{84}}&{P_{85}}&{P_{86}}\\{P_{71}}&{P_{72}}&{P_{73}}&{P_{74}}&{P_{75}}&{P_{76}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz Cero 6x2}} $$


$$R=\begin{bmatrix}{P_{18}}&{P_{17}}\\{P_{28}}&{P_{27}}\\{P_{38}}&{P_{37}}\\{P_{48}}&{P_{47}}\\{P_{58}}&{P_{57}}\\{P_{68}}&{P_{67}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz R 2x6}} $$


$$Q=\begin{bmatrix}{P_{11}}&{P_{12}}&{P_{13}}&{P_{14}}&{P_{15}}&{P_{16}}\\{P_{21}}&{P_{22}}&{P_{23}}&{P_{24}}&{P_{25}}&{P_{26}}\\{P_{31}}&{P_{32}}&{P_{33}}&{P_{34}}&{P_{35}}&{P_{36}}\\{P_{41}}&{P_{42}}&{P_{43}}&{P_{44}}&{P_{45}}&{P_{46}}\\{P_{51}}&{P_{52}}&{P_{53}}&{P_{54}}&{P_{55}}&{P_{56}}\\{P_{61}}&{P_{62}}&{P_{63}}&{P_{64}}&{P_{65}}&{P_{66}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{3}}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}\\{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{\frac{1}{3}}&{0}\end{bmatrix}\Longrightarrow{\textrm {Matriz Q 6x6}} $$


Calculamos $$I-Q$$, usamos la matriz identidad 6x6


$$I-Q=\begin{bmatrix}{1}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{1}{3}}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{1}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{-\frac{1}{3}}\\{0}&{-\frac{1}{3}}&{1}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{0}&{-\frac{1}{3}}&{1}&{0}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{0}&{1}&{-\frac{1}{3}}\\{0}&{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}&{-\frac{1}{3}}&{1}\end{bmatrix} $$


La matriz $$N=(I-Q)^{-1}$$ es llamada la matriz fundamental de la cadena de Markov. Sus entradas representan en número esperado de veces que el proceso pasa por el estado j después de empezar en i antes de ser absorbido.


$$N=(I-Q)^{-1}=\begin{bmatrix}{1.92857}&{1.07143}&{0.64286}&{0.85714}&{0.85714}&{0.64286}\\{1.07143}&{1.92857}&{0.85714}&{0.64286}&{0.64286}&{ 0.85714}\\{0.64286}&{0.85714}&{1.52679}&{0.72321}&{0.34821}&{0.40179}\\{0.85714}&{0.64286}&{0.72321}&{1.52679}&{0.40179}&{0.34821}\\{0.85714}&{0.64286}&{0.34821}&{0.40179}&{1.52679}&{0.72321}\\{0.64286}&{0.85714}&{0.40179}&{0.34821}&{0.72321}&{1.52679}\end{bmatrix} $$


Las probabilidades de absorción se obtienen multiplicado N por la parte R de la matriz P forma canónica: $$B=N\cdot{P}$$


$$B=N\cdot{P}=\begin{bmatrix}{0.57143}&{0.42857}\\{0.42857}&{0.57143}\\{0.35714}&{0.64286}\\{0.64286}&{0.35714}\\{0.64286}&{0.35714}\\{0.35714}&{0.64286}\end{bmatrix}$$


$$B=\begin{bmatrix}{P_{18}}&{P_{17}}\\{P_{28}}&{P_{27}\\{P_{38}}&{P_{37}\\{P_{48}}&{P_{47}\\{P_{58}}&{P_{57}}\\{P_{68}}&{P_{67}}\end{bmatrix}$$

Por lo tanto la probabilidad de acabar en el estado 8 partiendo del uno es 0.57143 (4/7) y en el 7 0.42857 (3/7)



Otro resultado interesante y sencillo de obtener es $$T=N\cdot{I}$$ donde I es un vector todo unos. T nos da el número esperado de pasos antes de la absorción para cada punto de partida.


SOLUCIÓN DE "EL PAÍS": "Una hormiga con un negro futuro"




46 comentarios:

  1. Hombre, independientemente de si está bien o no, ¿no crees que no se deberían publicar intentos de solución hasta que se termine el plazo? La gente puede llegar aquí buscando el problema en Google y enviar soluciones que no son suyas.

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  2. Tienes buena parte de razón, de hecho desde que publiqué la solución, se han multiplicado las visitas al blog, y en un sólo día ha habido unas 200. Estoy convencido de que una buena parte de esos internautas copiarán la solución propuesta o parte de ella, y la usaran como suya.

    No obstante, debido a la naturaleza del concurso, tampoco es algo demasiado importante. Ya que no se premia, la mejor respuesta, o la más rápida, o la más ingeniosa, o la más exacta, o la más curiosa; sino que es por sorteo. Desgraciadamente carezco de eso que alguna gente denomina suerte; por lo que tampoco importa mucho si hay más gente que da la respuesta correcta, si partimos de la premisa de que por sorteo nunca me a a tocar (aunque haya más probabilidad con menos personas con la respuesta correcta).

    Además está el factor ego. He verificado que mucha gente no participa por el premio (como en mi caso que ya poseo la colección que se regala; la cual adquirí de RBA el año pasado); sino por el ego, en sus dos vertientes. La primera por el ego propio, ser capaz de resolver por ti mismo un enigma planteado. Y en segundo lugar por el ego para con los demás, que tus amigos vean que sabías la respuesta antes de la publicación de la misma. Tal como está planteado el concurso no se puede demostrar que enviaras la respuesta correcta, pues no recibes un correo de certificación, o o aparece una lista de personas con la respuesta correcta. Por lo que la única opción de satisfacer ese mal llamado ego es publicar la respuesta, que tus amigos la lean, y si está bien te ganas una cervecita (ya que por sorteo no he ganado ni cuando era al 50%).

    Saludos

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  3. Buenas,

    Estoy con el comentario anterior: está mal, he consultado el blog buscando por dónde empezar y me ha cabreado un poco encontrar una solución ya hecha, tengo intención de participar, por segundo egos que tu esgrime, por un lado conseguir una cola . colección de libros de matemáticas que no tengo y para resolver el problema yo misma, por cierto la solución del problema anterior esta colgada en la misma web de El País, y personalmente no es importante para mí que pongan mi nombre o no, me siento satisfecha por el hecho de hacerlo bien.
    Por otro lado me parece divertido que planteen este tipo de juegos, y no me parece divertido que escribas una solución o posible solución (puede que sea tu ego el que esta herido y necesites un reconocimiento).

    En este punto, personalmente creo que puede ser por varias razones: una de ellas podría ser que hubieras subido una solución falsa expresamente debido a que realmente no tienes la colección de libros y quieras conseguir quitandote de encima competidores, o porque te gustaría ver tu nombre escrito como ganador del sorteo ya que como dices no has ganado ningún sorteo nunca. También podría ser que tuvieras un marcado carácter masoquista y quieres corroborar tu fantasía catastrófica que nunca te tocó un sorteo proporcionando la solución adecuada a un sinfín de participantes que nunca la hubieran encontrado por sí solos, reduciendo así la probabilidad de que te tocara a tú (y de paso a cualquier otra persona, recuerda que yo no tengo la colección), y puestos a esgrimir razones también podrías ser que estuvieras cabreado con RSME o El País (las matemáticas en general, con tu facultad, con la tu vecinos, etc ...) y te gustaría vengar dando la solución, otra posibilidad es que tengas un ego tan fuerte que te cabree el hecho de que quieran hacer ver las matemáticas como algo accesible para todos y eso te quite protagonismo , honor, orgullo o lo que sea que sientas tu respeto a las matemáticas .... Las posibilidades son tantas que hasta puede que lo hayas hecho con la intención de hacer el bien a las personas que tienen dudas.

    En cualquier caso, en cuanto a mí, yo soy terca y me gusta hacer las cosas por mí misma y resolver los juegos o no por el ego o orgullo de hecerlo yo, y en el caso que no lo haga aprender de la error, así que personalmente no estoy de acuerdo con que hayas colgado una "solución" (que aún no se si esta correcta para mí o no, no me lo he leído toda) pero por mi parte voy a intentar sacar a mi manera, al fin y al cabo puede que tu intención sea también, en este caso, gracias.

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  4. Precisamente lo digo porque es por sorteo, si hay gente que manda más soluciones correctas es más difícil que le toque a alguno de los que realmente lo han resuelto. Quizá a ti no te parece importante pero a muchos otros sí, y estás fastidiando a la gente que quiere participar en serio. (Además, no es tan extremadamente improbable que a uno que resuelva bien el problema cada semana le toque algún premio, sobretodo si los problemas van creciendo en dificultad y el número de acertantes disminuye).
    Y hay muchas otras maneras de demostrarle a tus colegas que lo habías resuelto bien sin hacer la solución pública. P.ej. subiendo el post (que es muy largo) justo cuando se acabe el plazo, o dándoles un papel con la solución escrita. Así que no veo que esa sea un motivo en absoluto.

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  5. jajajaja pobrecillo, debes tener el ego más deprimido de la década si te lo mejora en algo el que tus amigos vean como eres capaz de resolver concurso de Matemáticas de El País, diseñado para la gente común y para el cual estás evidentemente sobrecualificado. De esto al suicido, un pelo :P. Por lo demás, solución correcta! La próxima vez, por favor úsame que p17+p18=1 entre todas tus ecuaciones que parece que llegan hasta la z y que es que me está dando un colapso con tanta regla de Cramer inútil.

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  6. Yo que tú aprovechaba para contratar un poco de publicidad para tu blog! Este es tu momento chaval!!

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  7. jajaj no lo quería decir, pero ya que lo ha puesto otro anónimo... Sí, la solución es correcta, aunque mucho más larga de lo necesario (y sí, se simplifica mucho usando p17+p18=1 por simetría). Pero creo que no deberías haberla puesto hasta que se pase el plazo.

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  8. yo diría que tu ego se ha llevado un par de patadas en los cojonesss

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  9. Discrepo, el ego de este chico es evidentemente y desde hace mucho tiempo, eunuco.

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  10. Vaya como dice el amigo whistilin, con la cantidad de respuestas en este humilde blog, que apenas vista nadie, debería plantearme lo de la publicidad ;).

    Ahora vamos a responder algunas cosas, más que nada para continuar con la diversión:

    1) No soy matemático
    2) No tengo demasiados conocimientos de la rama de la Probabilidad y nunca he estudiado Probabilidad. Simplemente busque en un libro y aplique dichos conocimientos.
    3) Lo del ego es una forma de hablar, no es ni mayor ni menor que el vuestro. Proponen un problema, y a mi simplemente me gusta resolverlo, y publicar para mis amigos (4 en concreto) mi intento de solución. El cuál puede estar bien o mal resuelto. Si esta bien les tomo el pelo un poco, y si está mal me lo toman ellos a mi.
    4) Lo que me motiva de los problemas o enigmas, no es el premio (y menos en este caso, que es un premio menor), lo que me gusta es que cada cuál publique sus resultados y los cálculo de cada uno. Es decir debatir sobre el problema en cuestión y aprender de los demás.
    5)Hay gente que opina que publicar un intento de respuesta no es ético. A esta gente les digo:
    a) En las bases del concurso no se dice que no se puedan comentar nuestros intentos, por lo cuál es legitimo hacerlo si quieres.
    b) Si no queréis saber la respuesta no la busquéis en Google, que es como muchos habéis llegado aquí; o simplemente no la leáis.
    c) Lo que no es ético es buscar una respuesta que no es tuya, copiarla y enviarla como propia, Así que si tenéis algún problema hablar con esa gente.
    6) p17+p18=1 obvio, pero no me dí cuenta XD. Desde luego así el problema se resuelve más rápido.
    7) Se que a los matemáticos les gusta indicar las ecuaciones, sin desarrollarlas y simplemente escribir el resultado de dichas ecuaciones. Como ya he comentado no soy matemático y es cierto que podría haber resuelto las ecuaciones de una manera más rápida que usando Cramer (simplemente usando mi calculadora HP), pero doy clases en un instituto, y me gustaría poder usar algunos de estos problemas con mis alumnos, y a ellos hay que dárselo todo mascado, y usan generalmente Cramer o Gauss.
    8) Mi solución no es ni mucho menos la más elegante o simple (pero es propia). De hecho sé que se puede resolver rápidamente usando una cadena de Markov y aplicando una matriz estocástica. Pero no poseo conocimientos suficientes para intentarlo. Lo que me gustaría saber es cuál será la solución de "El País" para todos los públicos ...
    9) Por último sólo dar mi opinión respecto al concurso:
    a) Me parece una idea interesante, que además sirve para promocionar el centenario de la RSME.
    b) Por fin hay un concurso interesante y que permite exponer e intercambiar ideas.
    c) Pero no por ello hemos de olvidar la otra realidad. Está colección ya salió el año pasado, y al parecer fuimos muy pocos los que nos suscribimos y la adquirimos. Por ello RBA, que no sé si es del grupo PRISA, tiene un stock de libros en sus almacenes. Han ideado está idea junto con "El País" no para celebrar el famoso centenario; sino para que los concursantes, se piquen y aquellos que no ganen, deseen adquirir la susodicha colección mediante el correspondiente pago. Luego como siempre es por simple interés comercial.
    10) Para terminar, gracias por participar XD

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  11. En fin, no has respondido a lo que decía. La cuestión es

    a) no ganas nada publicando la respuesta antes de que finalice el plazo, ya que hay muchísimas maneras de demostrar que lo habías resuelto antes. Este era el único motivo que dabas y no es válido, así que por qué lo haces?

    b) no sé cuáles son las bases del concurso (¿dónde se encuentran?), pero independientemente de eso, el hacer esta respuesta pública perjudica a todos los que lo resuelvan por sí mismos y les importe la posibilidad de obtener el premio. O sea, que porque a ti no te importe el premio, decides que "no es importante por el formato del concurso", y fastidias así (indirectamente) a todos a los que le importe, mientras que tú ni siquiera obtienes nada a cambio. Cierto que los que hacen mal son los que copian la solución, pero qué ganas tú por facilitárselo (aunque no sea ese tu objetivo)? Por qué no puedes esperar a que acabe el plazo?

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  12. Como ya he comentado, este blog no lo leía nadie (salvo yo y mis amigos), luego que más daba que la respuesta estuviera aquí ... (hasta ayer no era capaz de encontrar mi propio blog en Google).Para mi es sólo un medio de comunicación con amigos (como escribir en el Facebook).

    No soy el único que ha publicado su respuesta. Por curiosidad he buscado y existen más páginas con la respuesta (curiosamente buscando lo de la cadena de Markov). Véase: http://gaussianos.com

    Además que publique mi respuesta no implica que ésta sea correcta. Puedo estar perfectamente equivocado. Por lo que si alguien me copia y la respuesta está mal, pues .... XD

    Por último, voy a responder a tus cuestiones, usando un razonamiento parecido. El hecho de que haya gente a la que le importe el premio y quiera participar en un concurso y no les guste que haya gente que publique posibles respuestas, no es razón suficiente para coartar mi libertad de expresión. Este blog está hecho para expresar mis ideas (la mayoría más malas que buenas) y comunicarme con mis amigos. Y no está pensado para el público en general. Lo que escriba en mi humilde blog es cosa mía y de mis amigos, y si a alguien le molesta, sinceramente peor para él, como decía mi abuelo dos trabajos tiene, enfadarse y desenfadarse XD

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  13. P(muera 7)=4/7
    P(muera 8)=3/7

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  14. Pues todos los que hayan copiado lo tendrán mal XD

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  15. "El hecho de que haya gente a la que le importe el premio y quiera participar en un concurso y no les guste que haya gente que publique posibles respuestas, no es razón suficiente para coartar mi libertad de expresión."

    Desde luego, no es razón para que nadie coarte tu libertad de expresión como nadie lo ha hecho porque es imposible. Aparentemente sí que es razón para que un porciento, a todas luces no despreciable, de la gente que ha visitado tu blog, piense eres subnormal perdido. Sobre todo después de la diatriba esa que hay sobre de tu ego por allá arriba jajajaja. Bah, yo te comprendo, ¿a quién le importa?

    Además tampoco hay que pasarse hijo, a ver si esto va a ser aquí Libia. Simplemente se sugería que fueras todo lo libre de expresarte que tú quieras en las forma que tú quieras, después de mañana martes. Mientras tanto, podías ser también libre de expresarte, un poco más privadamente. Y no es obligado, es simplemente un favor que han pedido aquellos que quieren tomarse el concurso en serio. Vaya que todo el drama ese de tu libertad de expresión blablabla está un poco exagerado.

    Por supuesto que todo ello es igualmente aplicable a los de gaussianos. Pero bueno, tampoco es que aporten mucho con las
    soluciones ridículas esas con cadenas de Markov para un problema que tiene una solución elemental. Eso me recuerda el día que decidí sumar dos más dos con series de Fourier.

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  16. A mi tampoco me gusta la idea de que se publiquen las respuestas.

    Ahora bien me parece también fuera de lugar que la gente se dedique a insultar, tampoco aporta nada ...

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  17. Yo te agradezco mucho que publiques la solución! Soy un estudiante que no se puede gastar los casi 300 euros que cuesta la colección y me encantaría tenerla porque me apasionan las matemáticas. Reconozco que lo correcto sería solucionar yo mismo el problema, y lo he intentado muy en serio. Pero mis conocimientos no son suficientes y por eso quizas esta colección me ayude mucho... Por otra parte un concurso nunca sigue unas pautas justas (es decir otorgar el premio al que más lo necesite o merezca); sino que al final es un juego de azar. ¿Entonces P7=3/7 y P8=4/7 o al reves?. Muchas gracias.

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  18. Por última vez, aquí nadie ha dicho (o por lo menos yo no lo he dicho) que no "tengas derecho" a publicar lo que te dé la gana en el blog. Nadie ha "coartado tu libertad de expresión". La cuestión es simplemente: ¿por qué lo haces? ¿Cuál es el problema en esperar hasta el martes? Hay gente a la que le afecta eso y a ti sin embargo no parece si quiera reportarte ningún beneficio escribir esto antes del martes, entonces ¿cuál es el problema para esperarse?

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  19. Es tan sencillo que nadie puede ser tan tonto como para no entenderlo:

    1) Un tío escribe en su blog personal -y de "consumo interno"- lo que le da la gana (y no tiene que dar explicaciones por ello).

    2) La probabilidad de llegar aquí sin escribir en Google "hormiga amenazada" es la misma que la de que la hormiga sobreviva (¿qué estáis buscando, información para un trabajo de zoología?). Y si alguien llega de casualidad y quiere esforzarse en resolver el problema por su cuenta, sólo tiene que abstenerse de leer la entrada.

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  20. Me parece surrealista que haya gente que comente que "les gusta resolver los juegos por sí mismos" ,critiquen al autor del blog y hasta 'optimicen' sus cálculos, cuando han llegado a está página precisamente buscando la solución.
    Qué casualidad que todos estos 'expertos' no hayan aprovechado para poner algún modo alternativo de resolverlo. ¿Será porque no han sido capaces de resolverlo, han llegado aquí, han fusilado la solución, la han mandado a elpais y luego han sido tan falsos de criticar al autor?


    Yo he sido incapaz de encontrar la solución formal.
    Lo único que he podido es encontrar una solución 'empírica'. He mandado 1 millón de hormigas a recorrerlo y me he encontrado con los siguientes resultados:
    Muertas en punto 8= 571357 (57,14%)
    Muertas en punto 7= 428643 (42,86%)

    Qué coincide con 4/7 y 3/7 respectivamente.




    #include "stdafx.h"
    #include "time.h"
    #include "stdio.h"
    #include "stdlib.h"

    int movimientos[24]={2,3,5,1,4,6,1,4,7,2,3,8,1,6,7,2,5,8,3,5,8,4,6,7};

    int calcular();
    int mover(int pos);
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
    int c7,c8;
    c7=0;c8=0;
    for(int j=0;j<1000000;j++)
    {
    if(calcular()==7)
    c7++;
    else
    c8++;
    }
    printf("c7=%d c8=%d",c7,c8);
    scanf("%d",&c7);
    return 0;
    }

    int calcular()
    {
    int i=1;
    while(i!=7 && i!=8)
    {
    i=mover(i);
    }
    return i;

    }
    int mover(int pos)
    {
    int azar;
    azar=rand()%3;

    return movimientos[((pos-1)*3)+azar];
    }

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  21. Hola! Aquí el anónimo de arriba que optimizó la solución! Y en unos minutos enviaré tu código optimizado también!!

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  22. Aquí la peña está discutiendo los problemas

    http://foro.migui.com/smf/index.php/topic,12406.0.html

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  23. Decir que p17 + p18 = 1 es dar por hecho que la hormiga tiene que morir. Yo no veo NADA claro que vaya a morir. Mi PREGUNTA es: Si una vez haya cogido un camino, tiene 1/3 de posibilidades de volver por sus pasos y por ende existe la posibilidad de que esto se repitiese en un bucle infinito, no habrá bastantes posibilidades de que nunca llegase a tocar el vértice 7 o el 8?

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  24. Lo de que muera siempre es porque tenemos un número finito de vértices, un número infinito de movimientos y desde cualquier siempre es posible llegar a los estados finales.

    Es como jugar si jugásemos a lotería todos los días. Si fuésemos inmortales, siempre llegaría un día en el que acertásemos (por muy difícil que fuese). Todo suceso con probabilidad mayor que 0, si "lo repetimos" infinitas veces, alguna vez se acaba cumpliendo.


    Para que se dé el caso de que la hormiga no muriese, tendría que hacer ciclos en el grafo donde ninguno de sus vértices fuese "venenoso".
    Imaginaros que por alguna extraña circunstancia, los vértices 2 y 3 sólo estuviesen conectados entre ellos para sus salidas. Es decir, a ellos se siguiese llegando como hasta ahora (al 2 llegaría 1,3 y 6) (al 3 llegaría 2 y 4). Pero una vez en ellos, sólo pueda irse de uno a otro.
    En este caso si la hormiga por ejemplo nada más empezar fuese del 1 al 2, ya habría caído en nuestro ciclo y sería inmortal.

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  25. Pues no, vine a este blog porque tenía curiosidad por saber lo que pensaba la gente, yo ya había resuelto el problema correctamente y mandado la solución, así que esas acusaciones no tienen sentido.
    El que la hormiga muere con probabilidad 1 es obvio porque desde cualquier vértice existe un camino que la envenena, como explica alguien más arriba. Es posible que la hormiga no muera, pero esto sólo ocurre con probabilidad 0.

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  26. Joer, pues yo creo que te equivocas.
    La solución es p7= 3/5 y p8=2/5.

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  27. jajajjajajaja desde luego para un no matemático con el ego jugando al escondite, leer esta sarta de chorradas por parte de un ególatra y por parte de todos los que estais acojonados con la opción de que se resten posibilidades a que ganeis la colección de libros... diría que le entretiene a uno. Yo no conseguí resolverlo (me da una solución que da asquito verla y se sabe que no puede ser) pero os diré a todos que un poco más de buen rollo en el mundo. El colega ha colgado la solución porque internet es libre. Jode el concurso? Bueno, que se lo curren más los del país y a los que copy pasteen la solución aquí dada, fuera. Si no, suerte a todos, no os rayeis y seguid echando a la lotería, que una vez en la vida le toca algo a todo el mundo!

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  28. Creo que uno de los compañeros anteriores tiene razón, aunque sea lógico que la hormiga va a morir; no deberíamos tomar ese hecho como dato de partida, sino que será una de las cosas que tengamos que demostrar. Es decir no sé si es muy lícito suponer de antemano que $$P_{17}+P_{18}=1$$.

    También veo lógico que $$P_{18}>P_{17}$$, simplemente por el hecho que que hay más longitud de aristas de 1 a 7, que de 1 a 8. Y a mayor longitud recorrida y más vértices visitados, en principio menor probabilidad tendremos.

    Pd: Desde luego lo que hay que oír, uno dice que le gusta picarse consigo mismo y de forma sana con sus amigos, pero en lugar de usar la palabra picarse, usa la palabra ego, y le llueven insultos de toda clase. ;)

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  29. Lo de p17+p18=1 es equivalente a decir que la hormiga muere con probabilidad 1, pero no es una suposición. Ya lo han explicado más o menos arriba, pero la cuestión es: desde cualquier punto hay un camino de longitud 2 que la lleva a un punto envenenado (o hace pasar por él), por tanto la probabilidad de sobrevivir al cabo de 2n pasos es *como mucho* (8/9)^n, y la de sobrevivir siempre debe ser 0.

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  30. Yo debo estar loca pero no leí ningún insulto allá arriba. Leí a uno dando unas explicaciones un poco graciosas de por qué publicaba su solución y a otra gente burlándose pero es que la verdad que lo del ego está cómico (ver arriba). Si hubiera usado la palabra 'picarse' imagino que no le habrían dado tanta caña, pero insulto lo que se dice insulto, nada, que insulto ya es cualquier cosa.

    No creo que al argumento de que internet sea libre o Gogely sea libre sea bueno. Ambas cosas son indiscutibles naturalmente. Sin embargo constantemente las personas no usan toda la libertad de la que disponen. La razón es que en muchos casos, si bien estarían en su perfecto derecho a hacer ciertas cosas, el hacerlas sería incívico. Para poner un ejemplo, yo no voy por la calle deteniendo a toda persona que me vea y enumerando sus peculiaridades físicas 'tú eres narizón, tú calvo, tu gordo'. No serían insultos y nadie podría demandarte por ello - si eres notablemente más gordo que la media, eres gordo - pero además de reafirmar mi libertad de expresión al hacerlo, ¿qué gano con ello? No mucho, mientras que todas esas personas pueden no sentirse bien al tener a una chica delante enumerando aquellas características suyas que se salen de los cánones de belleza.

    El ejemplo está un poco traído por los pelos - podría poner otros, hay gente que cree en Dios muy a pecho blasfemar delante de ellos estaría dentro de mi libertad de expresión - pero a mí me sirve para probar que, a veces, usar tu libertad de expresión, si bien perfectamente lícito, hiere de alguna manera a otras personas. El resto de las personas no es que deba ganar siempre a tu libertad. Muy al contrario, tu libertad es desde luego lo más preciado que tienes. Yo, por poner otro ejemplo, soy lesbiana. Besar a mi pareja en público puede herir a alguna señora decimonónica que ande por allí. Pero para mí está claro que no es canjeable la herida de la señora por la prohibición a todas las lesbianas y gays a besarse en público. Por tanto parece claro que en cada caso que se plantee un tal dilema ponemos, todos lo hacemos, en una balanza tu libertad contra el daño que puedas causar.

    En este caso particular, y teniendo en cuenta que a partir de hoy no habría ninguna pega a publicar la solución cuando y como se quisiera (y en esto creo que un comentario por allá arriba lleva razón que no es realmente cortarte tu libertad de expresión cuando tiene una fecha de caducidad tan próxima) yo creo que yo hubiera elegido no "herir". Pero es una elección de cada cual naturalmente, es en eso en lo que consiste la libertad de expresión. Por lo demás todo buen rollo, eh? Chau!

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  31. Vaya, la que se ha liado aquí con la solución.

    Yo también opino que no se debería de publicar la solución (independientemente de las bases del concurso, que aquí no tienen nada que ver). ¿Cuánta gente habra estado horas pensando en la solución para poder enviarla y entrar en el sorteo de los libros? ¿Les hará gracia ver esto publicado? Pues no, porque esto hará que mucha gente se copie la solución de aquí y la envié al concurso. Esto hará que el número de participantes del sorteo sea mayor lo que claramente perjudicará a aquellos que habían enviado la solución por su cuenta.

    No pienses en que si no quieres saber la solución, no la busques. Piensa en los que no la han buscado que tendrán que competir contra los que la han buscado y no se han esforzado.

    Yo te pediría, que no vuelvas a repetir esto, si resuelves otro problema, no publiques la solución. Es de sentido común. Por supuesto que luego podrás hacer lo que te de la gana, nadie puede impedírtelo, pero con esto solo perjudicas.

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  32. Estimado Carlos,

    Tu petición, al igual que la de algunas personas que han contestado antes, es de lo más razonable: De hecho tal y como han sucedido las cosas, creo que es lo mejor. Quizás si hay que responder algo con demostración, publique sólo el resultado final, sino, nada.

    Como ya comenté anteriormente, la cuestión no era publicar la respuesta para el público general, sino sólo para mi y mis pocos amigos. Este blog sólo tenía 700 visitas en un año (y todas nuestras), no pensé que entrara nadie más.

    Lo que no quita, que se me pueda exigir (y no lo digo por ti), que haga o no haga una cosa en mi blog. Y tampoco creo que sea razón suficiente para verter cierto tipo de calificativos sobre mi persona.

    Pero como yo he creado éste blog sólo para hablar de Matemáticas, que me apasionan y no sobre otros temas, vamos haya.

    1) Dar las gracias a la gente que ha participado aportando ideas.
    2) Dar especialmente las gracias al anónimo informático (me ha ayudado a comprender un poco más el mundo de la programación)
    3) Finalmente si han considerado que $$P_{18}+P_{17}=1$$, aunque sigo pensando que no sé si es del todo lícito hacerlo.
    4) Me ha parecido un problema bastante complicado para el público en general.

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  33. Se me ha olvidado, me gustaría que alguien explicase como se hace el problema usando Cadenas de Markov.

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  34. Ok, no había leído todos los comentarios. Simplemente es que en los primeros, la explicación que dabas con el ego y tal, no me parecía correcta.

    En cualquier caso, si lo que pasaba es que no esperabas que la gente encontrara la respuesta, a parte de tus amigos, comprendo que publicases la entrada. El problema ha sido que has subestimado el "poder de google".

    En cualquier caso, siempre puedes publicar la solución tras pasar la fecha para enviar la solución al periódico.

    Un saludo y gracias por la respuesta.

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  35. La solución "usando cadenas de Markov" es exactamente la misma que has puesto. Una cadena de Markov es eso, un proceso en el que la probabilidad de ir de un estado a otro no depende de cómo se ha llegad a ese estado (y en este caso es constante).

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  36. Por cierto, veo que sigues diciendo que no "sabes si es del todo lícitio" usar p18+p17=1, ¿no has leído los mensajes de arriba? En uno de ellos he explicado que probabilidad de no morir en <= 2n pasos es como mucho (8/9)^n, y por tanto la probabilidad de no morir nunca es como mucho cualquiera de estas y tiene que ser 0. Es una demostración perfectamente válida (lo único que podría faltar es una justificación de que las probabilidades en cuestión existe, pero eso es un punto sutil y se puede aplicar igualmente a todas las demás explicaciones que se han dado).

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  37. Me refería a como se plantearían las distintas filas y columnas de la Matriz de Probabilidad; yo supongo que sería algo así:

    $$\begin{bmatrix}{P_{11}}&{...}&{P_{18}}\\{...}&{...}&{...}\\P_{81}}&{...}&{P_{88}}\end{bmatrix}$$

    Lo que no se muy bien es que hacer después con la matriz ...

    En cuanto al segundo tema ya dije que era obvio que $$P_{17}+P{18}=1$$, porque es obvio que cuando $$n\longrightarrow{\infty}$$ la probabilidad de que la hormiga no muera tiende a 0. A lo que me refiero es que quizás aunque sea perfectamente válido, tampoco hubiera estado de más no considerarlo como hipótesis desde un principio. Aunque desde luego considerándolo es mucho más rápido.

    Saludos

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  38. Siento el formato, el latex no me lo se al dedillo.
    El recorrido de la hormiga sobre el cubo es una cadena de Markov finita sobre un conjunto de estados que son los vértices del cubo.
    Las probabilidades de pasar de un estado a otro vienen dadas por la matriz de transición P.

    1 2 3 4 5 6 7 8
    ____________________
    1| 0 1/3 0 1/3 1/3 0 0 0
    2|1/3 0 1/3 0 0 1/3 0 0
    3| 0 1/3 0 1/3 0 0 0 0
    4|1/3 0 1/3 0 0 0 0 0
    5|1/3 0 0 0 0 1/3 0 0
    6| 0 1/3 0 0 1/3 0 0 0
    7| 0 0 1/3 0 0 1/3 1 0
    8| 0 0 0 1/3 1/3 0 0 1

    Para resolver nuestro problema reorganizamos la matriz de manera que los estados absorbentes aparezcan primero:

    8 7 1 2 3 4 5 6
    ________________________
    8| 1 0 0 0 0 0 0 0
    7| 0 1 0 0 0 0 0 0
    1| 0 0 0 1/3 0 1/3 1/3 0
    2| 0 0 1/3 0 1/3 0 0 1/3
    3| 0 1/3 0 1/3 0 1/3 0 0
    4|1/3 0 1/3 0 1/3 0 0 0
    5|1/3 0 1/3 0 0 0 0 1/3
    6| 0 1/3 0 1/3 0 0 1/3 0

    Esta forma canónica la podemos descomponer en:
    I 0
    R Q

    Donde I es la identidad de 2x2 y 0 una matriz de 6x2 con todo ceros

    La matriz N = inversa(I - Q) es llamada la matriz fundamental de la cadena de Markov. Sus entradas representan en número esperado de veces que el proceso pasa por el estado j después de empezar en i antes de ser absorbido.


    I - Q

    1.00000 -0.33333 0.00000 -0.33333 -0.33333 0.00000
    -0.33333 1.00000 -0.33333 0.00000 0.00000 -0.33333
    0.00000 -0.33333 1.00000 -0.33333 0.00000 0.00000
    -0.33333 0.00000 -0.33333 1.00000 0.00000 0.00000
    -0.33333 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -0.33333
    0.00000 -0.33333 0.00000 0.00000 -0.33333 1.00000

    N = Inversa de I-Q

    1.92857 1.07143 0.64286 0.85714 0.85714 0.64286
    1.07143 1.92857 0.85714 0.64286 0.64286 0.85714
    0.64286 0.85714 1.52679 0.72321 0.34821 0.40179
    0.85714 0.64286 0.72321 1.52679 0.40179 0.34821
    0.85714 0.64286 0.34821 0.40179 1.52679 0.72321
    0.64286 0.85714 0.40179 0.34821 0.72321 1.52679


    Las probabilidades de absorción se obtienen multiplicado N por la parte R de la matriz P forma canónica:
    B = N*R
    8 7
    1 0.57143 0.42857
    2 0.42857 0.57143
    3 0.35714 0.64286
    4 0.64286 0.35714
    5 0.64286 0.35714
    6 0.35714 0.64286

    Por lo tanto la probabilidad de acabar en el estado 8 partiendo del uno es 0.57143 (4/7) y en el 7 0.42857 (3/7)

    Otro resultado interesante y sencillo de obtener es t=N*I donde I es un vector todo unos. t nos da el número esperado de pasos antes de la absorción para cada punto de partida.

    Esta solución está explicada en la monografía "Random Walks and Electric Networks" http://arxiv.org/pdf/math/0001057v1, que plantea un paralelismo muy curioso entre la resolución de este tipo de problemas y la de circuitos eléctricos.

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  39. Muy, muy interesante; y el enlace me lo tengo que leer a fondo. He resuelto muchos circuitos en mi vida, pero nunca había visto este tipo de problemas. XD

    Lo de la cadena de Markov era más fácil de lo que me pensaba, ...

    En cuanto al Latex, yo tampoco me lo sé, por eso uso ésta página para ayudarme: http://rinconmatematico.com/latexrender/
    Basta con copiar el código generado y colocarlo entre dos $$

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  40. Dear Gogely, No conocía este blog y me parece sumamente interesante e instructivo. De hecho estoy aprendiendo muchas matemáticas con esto de las cadenas de Markov, el programita,etc. Lo he conocido por la publicidad que te ha supuesto el colocar la solución. Así que gracias. Pero te pediría que las coloques justo cuando se acaba el plazo, así salimos todos ganando. Por el bien de las matemáticas y de sus forofos.

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  41. solución al 3er problema:


    5 225 3
    9 15 25
    75 1 45

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  42. explicación por si hace falta......, no obstante esto lo ha estudiado mi hijo de primaria, por lo que parece que han bajado el nivel bastante.

    a a2·b2 b
    b2 a·b a2
    a2·b 1 a·b2

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  43. Felicidades al anónimo.

    La explicación es muy buena y casualmente coincide con la que hay en está página:
    www.terra.es/personal8/ebarcodi/cuadrad4.doc

    Coinciden las letras elegidas (a y b), y de todas las posibles simetrías del cuadrado mágico ha ido a escoger también la misma: ¿Casualidad?

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  44. Es verdad que no hay nada que impida publicar las soluciones antes de que se cumpla el plazo, pero ... se le estropea la diversión a mucha gente.

    Es como que te cuenten el final de una película. ¿Está escrito en algún sitio que no se pueda hacer?, ¿hay leyes que prohíban hacerlo? No

    ¿Le gusta la gente que se lo hagan? Definitivamente NO!

    Es cierto que tampoco está bien que la gente se dedique a googlear en vez de tratar de resolverlo y esperar pacientemente a la fecha límite para ver las soluciones. Sería como ir buscando quién te puede contar el final de la película.

    Por otro lado aquí hay un efecto secundario que ya han apuntado muchos, arruinar las probabilidades de ganar a los que lo resuelven honestamente con su esfuerzo.

    Por eso yo simplemente pediría que todos juguemos y dejemos jugar.

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