Un Piano Gigantesco

José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presenta el séptimo desafío de EL PAÍS. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 2 de mayo (00.00 horas del martes). 

Nota importante: Para evitar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado del problema por escrito.

Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?

Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.


SOLUCIÓN:

PISTA: Progresiones Aritméticas de Orden 2.

Veamos la solución enviada:

Primero numeramos las distintas teclas, empezando por la primera que será la 1, la segunda que será la 2, y la 7000 que será evidentemente la tecla 7000.

¿Qué teclas voy a tocar?

Pues siguiendo las indicaciones del problema toco las teclas:

1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

Tenemos pues una progresión aritmética de orden 2. Obtenemos el término general:

$$a_n=\displaystyle\binom{n}{0}\cdot{f(x_0)}+\displaystyle\binom{n}{1}\cdot{\Delta f(x_0)}+\displaystyle\binom{n}{2}\cdot{\Delta^2 f(x_0)}$$

Operando obtenemos que (no colocamos los cálculos por considerar que no son relevantes):

$$a_n=1+(n-1)\cdot{\frac{n}{2}}$$

Comprobamos que efectivamente $$a_{7000}=24496501$$, es decir casi 24 millones y medio.

1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

Bien veamos en que an tocamos la tecla DO

La tocamos en $$a_1, a_7, a_8, a_{14}, a_{15}, a_{21}, a_{22}, ...$$

Luego obtenemos otra progresión aritmética de términos:

1, 7, 8, 14, 15, 21, 22, ...

Vemos que para hallar el término general habrá que dividir la progresión en dos progresiones, una de términos pares e impares, entonces

Impares: 1, 8, 15, 22,... cuyo término general es $$b_n=7\cdot{n}-6$$ (siendo n impar)

Pares: 7, 14, 21,... que son los múltiplos de 7, luego $$b_n=7\cdot{n}$$ (siendo n par)

Por lo tanto como hemos tocado 7000 teclas, es obvio que tendremos 1000 teclas por cada progresión anterior, de hecho la tecla 7001 será otro DO. Por lo que en total hemos tocado 2.000 teclas DO.


Progresión Impar: $$7000=7\cdot{n}-6\Longrightarrow{n=1000.85}$$
Progresión Par: $$7000=7\cdot{n}\Longrightarrow{n=1000}$$

2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?

Con un razonamiento análogo al anterior pero para las teclas RE, FA y SI, obtenemos que tocamos:
2.000 teclas RE
2.000 teclas FA
1.000 teclas SI

Luego nunca tocamos las teclas MI, SOL y LA

Una forma de verlo más sencilla es ver que teclas vamos tocando y si hay algún tipo de secuencia sonara que se repita, para ello vamos colocando las distintas teclas pulsadas, usando la progresión aritmética que vimos antes:

$$a_1=1(DO)$$
$$a_2=2(RE)$$
$$a_3=4(FA)$$
$$a_4=7(SI)$$
$$a_5=11(FA)$$
$$a_6=16(RE)$$
$$a_7=22(DO)$$

$$a_8=29(DO)$$
$$a_9=37(RE)$$ 
$$a_{10}=46(FA)$$ 
$$a_{11}=56(SI)$$ 
$$a_{12}=67(FA)$$ 
$$a_{13}=79(RE)$$ 
$$a_{14}=92(DO)$$

Luego vemos que se va repitiendo una secuencia de 7 notas: 

DO-RE-FA-SI-FA-RE-DO
DO-RE-FA-SI-FA-RE-DO
........
DO-RE-FA-SI-FA-RE-DO

que se repetirá 1000 veces, por lo que no tocaremos nunca el MI, SOL, LA.

Aportaciones:

Destacar la aportación de rovber, el cuál nos muestra como solucionar el problema usando Aritmética Modular

Una representación adecuada sería codificar las notas así:

0-DO, 1-RE, 2-MI, 3-FA, 4-SOL, 5-LA, 6-SI

Con esta codificación se puede emplear estas dos estrategias:

1- Utilizar un anillo módulo 7 .
2- Emplear Base 7 para escribir los números.

Vamos a probar con la primera estrategia:

La sucesión inicialmente sería la siguiente: $$0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,...$$

Si empleamos aritmética módulo 7 se convertiría en: $$0,1,3,6,3,1,0,0,1,3,...$$

Hay que observar que las diferencias (módulo 7) serían estas: $$+1,+2,+3,+4,+5,+6,+0,+1,+2,...$$

Vemos que esta sucesión forma un ciclo de 7 elementos $$(0,1,3,6,3,1,0)$$, ya que el octavo elemento es exactamente idéntico al primero al tener el mismo valor (0) y la misma diferencia con el siguiente (+1).
Así que sabiendo que $$(DO,RE,FA,SI,FA,RE,DO)$$ se repetirán indefinidamente, podemos concluir:

1-Las notas MI, SOL y LA no aparecerán nunca.
2- Cuando hayamos pulsado 7.000 notas, habremos completado 1.000 ciclos. Como la nota DO aparece 2 veces en cada ciclo, tendremos 2.000 veces la nota DO.

PD- La demostración empleando Base 7 sería similar. La sucesión sería: 0,1,3,6,13,21,30,40,51,63,... La cifra de las unidades sería la nota, mientras que el resto representarían la octava.

SOLUCIÓN "EL PAÍS": "Solución al problema del piano... con sorpresa musical"


8 comentarios:

  1. La pista no está del todo bien: una progresión aritmética es una serie de números en la que la diferencia de dos términos consecutivos es siempre la misma.

    Y en este problema, ese no es el caso.

    Una pista mejor sería: sucesiones.

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  2. Existen progresiones aritméticas hasta de orden "k". En concreto ésta es una progresión aritmética de orden 2:

    1 2 4 7 11 Orden 0
    1 2 3 4 Orden 1
    1 1 1 Orden 2

    Las progresiones aritméticas a las que tu te refieres son de orden 0.

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  3. Claro, existen las progresiones aritméticas de diferencia variable, o de orden superior. Pero esas ya no son matemáticas básicas.

    Para unas matemáticas "asequibles" al nivel que piden en el concurso de El País, creo que puede llevar a error utilizar la expresión "progresión aritmética", porque la definición de una progresión aritmética siempre ha sido la que he dado yo, y como tal se trata incluso en la carrera de Matemáticas.

    (Por favor, espero que no te moleste mi comentario, que esto es hablar por discutir sobre una ciencia que me apasiona, y tratar de facilitar a personas con un nivel menor el que puedan resolver el problema.)

    Un saludo y decirte que me gustan tus explicaciones a los problemas, creo que los explicas muy claramente.

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  4. No me molesto, y tienes razón. Lo que pasa es que como yo soy a veces un poco torpe (matar moscas a cañonazos), sólo se me ha ocurrido usar las progresiones aritméticas de orden 2 para demostrar el resultado. El resultado es bastante simple de ver usando una simple Excel.

    Pero demostrar que eso es así, sólo se me ocurrió hacerlo por este tipo de Progresiones, aunque hay gente que lo ha hecho por Arimética Modular

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  5. Yo lo saqué de las dos maneras: con el Excel primero para ver qué resultado se obtenía y luego más formalmente calculando restos a partir del término general de la sucesión.
    Pensé también demostrarlo por inducción, aunque era complicarlo un poquito más. Pero la que no veo clara es tu solución solamente con progresiones aritméticas de orden 2. ¿No empleas los restos?
    Me gustará ver tu demostración mañana, a ver si se parece a la mía o si es otra forma de demostrarlo que no se me había ocurrido :-)

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  6. Sois unos frikis¡¡

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  7. Hola,

    Una representación adecuada sería codificar las notas así:

    0-DO, 1-RE, 2-MI, 3-FA, 4-SOL, 5-LA, 6-SI

    Con esta codificación se puede emplear estas dos estrategias:

    1- Utilizar un anillo módulo 7 .
    2- Emplear Base 7 para escribir los números.

    Vamos a probar con la primera estrategia:

    La sucesión inicialmente sería la siguiente: 0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,...

    Si empleamos aritmética módulo 7 se convertiría en: 0,1,3,6,3,1,0,0,1,3,...


    Hay que observar que las diferencias(módulo 7) serían estas: +1,+2,+3,+4,+5,+6,+0,+1,+2,...


    Vemos que esta sucesión forma un ciclo de 7 elementos (0,1,3,6,3,1,0), ya que el octavo elemento es exactamente idéntico al primero al tener el mismo valor (0) y la misma diferencia con el siguiente (+1).

    Así que sabiendo que (DO,RE,FA,SI,FA,RE,DO) se repetirán indefinidamente, podemos concluir:

    1-Las notas MI,SOL y LA no aparecerán nunca.

    2- Cuando hayamos pulsado 7.000 notas, habremos completado 1.000 ciclos. Como la nota DO aparece 2 veces en cada ciclo, tendremos 2.000 veces la nota DO.



    PD- La demostración empleando Base 7 sería similar. La sucesión sería: 0,1,3,6,13,21,30,40,51,63,... La cifra de las unidades sería la nota, mientras que el resto representarían la octava.

    Un saludo.

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  8. Gracias rovber como siempre por tu aportación. Esta vez teníamos cosas distintas. Aunque sin duda tu solución es más elegante y sencilla.

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