Un Cubo de Suma Cero

Izar Alonso (IES Diego Velázquez de Torrelodones) y Paula Sardinero (Colegio Virgen de Europa de Boadilla del Monte), estudiantes de 4º de ESO que participan en el Proyecto ESTALMAT, presentan el octavo desafío de EL PAÍS. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 10 de mayo (00.00 horas del miércoles). 

NOTA IMPORTANTE: Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.

A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.

¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.


SOLUCIÓN:
PISTA: Quizás sea imposible

He aquí mi solución en forma de RELATO CORTO:

PARTE 1: EL PROBLEMA

Erase un planeta en forma de cubo que poco a poco se iba desviando de su órbita original debido al impacto de un enorme meteorito, haciendo que poco a poco se fueran alejando de la estrella que proporcionaba al planeta la energía necesaria para su existencia vital. 

Los magos del reino más poderoso, después de un exhaustivo estudio determinaron que debido al impacto, el campo magnético del planeta había sido modificado considerablemente, por lo que para no seguir alejándose de su órbita debían restablecer dicho campo, de tal forma que la suma del campo gravitatorio existente en cada uno de los vértices del planeta más la suma de la fuerza gravitatoria existente en el punto de cruce de las diagonales (llamado Punto Zeta) que unen los vértices de una cara debía ser nula. Como dato los sabios sabían que dicha fuerza gravitatoria era el producto del campo gravitatorio de los vértices de la cara de donde partían cada una de las dos diagonales.


Para poder restablecer el campo gravitatorio, el planeta poseía unas piedras mágicas llamadas las piedras del poder, de las cuales existían dos clases, las piedras alfa aumentaban el campo gravitatorio existente en una unidad y las piedras beta que lo disminuían en un unidad. De tal forma que una piedra alfa anulaba una piedra beta y viceversa. 

Piedra Alfa + Piedra Beta = 0

Una vez descubierto el problema, los magos mediante un comunicado de prensa sin opción a preguntas, expusieron el tema a la opinión pública y al resto de países para intentar hallar una solución al problema, de tal forma que se supiera cuantas piedras de cada clase eran necesarias y dónde habría que colocarlas.

PARTE 2: EL PASTOR DE LEJIS Y EL FIN DEL MUNDO.

Todos los magos del mundo cúbico se pusieron a investigar, pero el tiempo pasaba y no encontraban una solución. Hasta que el problema llegó a oídos de un pequeño pastor de lejis (una especie de animal entre un león y una jirafa). Este haciendo uso de su cayado, comenzó por simple diversión a intentar resolver el problema mediante dibujos en la arena del desierto dónde vivía. 

Como había escasez de piedras mágicas decidió que colocaría como máximo una en cada vértice. Esto hacia que la suma a realizar tuviera 14 sumandos (8 vértices del planeta más 6 puntos zeta)

Por lo tanto el pastor se dio cuenta de que sólo existía una posibilidad de que la suma fuera cero y es que entre los sumandos hubiera 7 puntos con campo gravitatorio positivo y 7 puntos con campo gravitatorio negativo, de tal forma que se anulen entre sí. Por lo que las posibilidades eran:


Pero se también se percato de que las opciones 5, 6 y 7 eran iguales por simetría a las Opciones 1, 2 y 3 pero con signo contrario. Por lo tanto se propuso estudiar cada una de las 4 opciones posibles, una por una. Aunque evidentemente la cosa tenía mala pinta pues los Puntos Zeta dependían de los valores que tomarán los vértices al colocar allí las piedras mágicas.

Opción 1: Colocar 7 piedras alfa y 1 beta en los vértices:


El pastor comprobó que con esta configuración no se obtenían los 6 Puntos Zeta negativos que se necesitaban; si no 3 Puntos Zeta positivos y 3 Negativos, por lo que la suma total sería +6, y por lo tanto esta opción quedaba descartada.

Opción 2:  Colocar 6 piedras alfa y 2 beta en los vértices:

Obteniendo 3 posibles casos:

a) Las dos piedras beta pertenecen a una misma arista.
b) Las dos piedras beta pertenecen a una diagonal de una cara.
c) Las dos piedras beta pertenecen a una diagonal del cubo.


El pastor comprobó que en ninguno de los 3 casos obteníamos 5 puntos Zeta Negativos y 1 Positivo (como indicaba la tabla que eran necesarios). Si no que se obtenían los siguientes valores en los puntos Zeta:

a) 4 Puntos Zeta Positivos y 2 Negativos
b) 2 Puntos Zeta Positivos y 4 Negativos
c) 0 Puntos Zeta Positivos y 6 Negativos

Luego la opción 2 también quedaba descartada.

Opción 3: Colocar  5 piedras alfa y 3 beta en los vértices:

Obteniendo de nuevo 3 posibles casos:

a) Las tres piedras beta pertenecen a una misma cara.
b) Las tres piedras beta pertenecen cada una a una arista distinta.
c) Dos piedras beta pertenecen a una misma cara y la tercera a otra cara del cubo.


El pastor empezaba a desesperarse, pues confirmo sus peores sospechas, colocará como colocará las piedras beta, nunca obtendría los 2 puntos zeta positivos y 4 negativos que necesitaba; sino que siempre obtenía 3 Puntos Zeta Positivos y 3 Puntos Zeta Negativos.

Esta opción queda pues también descartada. El pastor que estaba ya bastante triste viendo lo que iba a suceder se concentro en la última opción posible.

Opción 4: Colocar  4 piedras alfa y 4 beta en los vértices:

Obteniendo 6 posibles casos:

a) Las cuatro piedras beta pertenecen a una misma cara.
b) Tres de las piedras beta pertenecen a una misma cara y la otra a la opuesta (3 casos: b1, b2 y b3)
c) Dos piedras beta pertenecen a una cara y las otras dos a la opuesta (2 casos: c1 y c2)



El pastor comprobó desolado que en ninguno de los casos se obtenían los 3 Puntos Zeta Positivos y 3 Negativos necesarios, sino que obtuvo los siguientes resultados:

a) 6 Puntos Zeta Positivos y 0 Negativos
b1) 0 Puntos Zeta Positivos y 6 Negativos
b2) 2 Puntos Zeta Positivos y 4 Negativos
b3) 4 Puntos Zeta Positivos y 2 Negativos
c1) 6 Puntos Zeta Positivos y 0 Negativos
c2) 6 Puntos Zeta Positivos y 0 Negativos

El pastor se derrumbo de rodillas en el suelo, las lágrimas le brotaban a borbotones de los ojos.

!EL PLANETA CÚBICO ESTABA PERDIDO!. ERA IMPOSIBLE CONSEGUIR QUE LA SUMA FUERA CERO.

PARTE 3: EL ÚLTIMO INTENTO

Pero nuestra pequeña historia continúa ya, que el pequeño pastor no se dio por vencido, se dijo ¿y si hay alguna posibilidad de colocar más de una piedra mágica en cada vértice?

Descubrió que al tener más de una piedra mágica, prácticamente la única forma que podría existir de conseguir una suma cero, era conseguir que la suma de las fuerzas gravitatorias de los seis "Puntos Zeta" fuera cero (Ya que a más piedras en cada vértice, los puntos zeta crecían exponencialmente). Para ellos eligió una configuración cualquiera (sabiendo que existían muchas otras tanto por simetría como por reflexión de caras), pero lo esencial es que las caras opuestas tuvieran valores opuestos. Llegando a este dibujo en la arena del desierto, llamando al producto de los vértices de las caras visibles "A4" y al producto de los vértices de las caras no visibles "- (A4)" (por ser caras opuestas):


El pastor se percató rápidamente que para que la fuerza gravitatoria de un Punto Zeta fuera - A4 (llamado Punto Zeta negativo), bastaba con que tres de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "A" y el cuarto "- A", o bien, tres de los vértices tuvieran valor “-A” y el cuarto valor “A” de tal forma que: 

a) (A)3 · (- A) = - A4 o b) (-A)3 · (A) = - A4

Igualmente para que un Punto Zeta fuera A4 (llamado Punto Zeta positivo), bastaba con que dos de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "- A" y otros dos "A", o bien los 4 vértices tomaran valor positivo, de tal forma que:

c)     A2 + (-A)2 = A4 o d) A4

El pastor sabiendo lo anterior descubrió  que si una cara tenía un Puntos Zeta positivo poseía un número par de vértices negativos y que si una cara tenía Puntos Zeta negativo, poseía un número impar de vértices negativos.

Por lo hizo un dibujo en la arena aplicando lo descubierto y llegó a la conclusión de que para que el flujo de energía del planeta volviera a equilibrarse, sólo existían dos posibles soluciones (con todas sus simetrías y posibles reflexiones):



El pastor volvió a quedar desolado, aunque los puntos zeta se anulaban, siempre había más piedras mágicas de un tipo que de otro, por lo que nunca se conseguiría una suma cero.

DEFINITIVAMENTE ERA EL FIN DEL PLANETA

El pastor no sabía muy bien que hacer, estaba todo el día deprimido, por una parte no tenía sentido seguir ejerciendo pues según estimaban en tres meses el planeta empezaría a estar tan lejos de su órbita original que los animales y plantas comenzarían a perecer, pero por otra parte se sentía muy vinculado a sus animales, y en cierta manera pensaba que era mejor estar con ellos que con sus semejantes, pues eran mucho más fieles y sinceros.

PARTE 4: UN RAYO DE ESPERANZA, ERROR EN LAS MEDICIONES DE LOS MAGOS.

A los pocos días llego la noticia, los magos se habían equivocado y según nuevas mediciones en los Puntos Zeta, la fuerza gravitatoria en estos no era el producto de los cuatro vértices de esa cara, sino la SUMA de los vértices de la misma, y además por esta razón al crecer la fuerza gravitatoria de los puntos de forma más atenuada, el nuevo cálculo databa el fin del mundo a 30 años vista.

Aún así nadie fue capaz de resolver el nuevo problema, nadie excepto nuestro pequeño pastor que se puso a ello enseguida. Este volviendo a hacer uso de su cayado, comenzó a intentar resolver el problema mediante dibujos en la arena del desierto dónde vivía. Y descubrió que existían muchas soluciones al problema, pero que básicamente consistían en conseguir que la suma de las fuerzas gravitatorias de los seis "Puntos Zeta" fuera cero. Para ellos eligió una configuración cualquiera, pero lo esencial es que las caras opuestas tuvieran valores opuestos. Llegando a este dibujo en la arena del desierto, llamando a la suma de las caras visibles "A" y a la suma de las caras no visibles "-A" (por ser caras opuestas):


El pastor se percató rápidamente que para que la fuerza gravitatoria de un Punto Zeta fuera A (llamado Punto Zeta positivo), bastaba con que tres de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "A/2" y el cuarto "- A/2", de tal forma que: 

3·(A/2) + (- A/2) = A

Igualmente para que un Punto Zeta fuera - A (llamado Punto Zeta negativo), bastaba con que tres de los vértices de esa cara tuvieran un campo gravitatorio de valor "- A/2" y el cuarto "A/2", de tal forma que: 

3·(- A/2) + (A/2) = - A 

El pastor sabiendo lo anterior descubrió que si un vértice (formado por la intersección de tres caras) tenía más caras con Puntos Zeta positivos que caras con Puntos Zeta negativos, ese vértice debía tomar el valor de A/2, y si por el contrario en un vértice del planeta cúbico concurrían más caras con Puntos Zeta negativos que positivos ese vértice debía tomar el valor de - A/2

Por lo tanto dibujo en la arena lo descubierto y llegó a la conclusión de que para que el flujo de energía del planeta volviera a equilibrarse, debía hacerse de la siguiente forma:


Ante tal descubrimiento el pastor estaba muy contento, pues se dio cuenta que había infinitas formas de resolver el problema de su planeta. Sin embargo sabía que las piedras alfa y beta eran muy escasas en el planeta por lo que habría que perfeccionar su solución para que se usaran el menor número de piedras mágicas posibles.

Después de discurrir dio con la clave, tan solo tenía que considerar que "A/2 = 1 Piedra Alfa = 1" y "- A/2 = 1 Piedra Beta = -1". Redibujo el cubo que representaba a su mundo con los nuevos valores, y obtuvo: 


Quedando el valor de los Puntos Zeta:


Por lo tanto bastaba con usar 8 piedras alfa y 8 piedras beta, de tal forma que la suma total de los Puntos Zeta más los vértices es cero:

8·(1) + 8·(-1) + 3·(2) + 3· (-2) = 0

Además sabía que debido a la simetrías y reflexiones había muchas más soluciones posibles.

PARTE 5: LUCHANDO HASTA EL FINAL

El pastor muy contento por lo que había descubierto se dirigió a la ciudad más cercana e intentó ponerse en contacto con el mago local para comunicarle su hallazgo. Desgraciadamente el mago estaba demasiado ocupado según palabras de la secretaria de este para recibir al pastor, por lo que se le comunico al pastor muy sutilmente que no volviera por allí. El pastor que era muy persistente aprovechó un descuido para colarse en la sala de juntas, pero en lugar de escucharle, le echaron a patadas y paso dos días en el calabozo del castillo de la ciudad.

Al salir el pastor decidió ir a otra ciudad que estaba relativamente cerca, y con su rebaño hacía allí se dirigió, pero después de tres días de larga travesía tampoco tuvo suerte y no fue recibido por el mago local, de hecho según llegó le detuvo la guardia de la ciudad, pues habían recibido informes de que un perturbador se dirigía para allí, y pasó una semana en otro calabozo. Para su desolación cuando volvió a por su rebaño, vio que la mitad había muerto de hambre y la otra mitad se lo habían robado debido al tiempo que había permanecido desatendido.

Aunque estaba muy triste, considero que el futuro de su planeta era más importante que su rebaño o su propia vida, por lo que intento comunicar su hallazgo a los informadores de su país (una especie de periodistas), pero estos no le hicieron caso, pues había en fechas próximas un partido de escondite con balón entre las dos ciudades más importantes del país que clasificaba para la champions league de escondite con balón.

Su último intento fue mandar un montón de cartas a todos los conocidos, amigos, informadores de otros países, jefes locales de ciudades, etc, gastando para ello todos sus ahorros. Pero la mayoría de las cartas ni siquiera fueron abiertas, y las que lo fueron, fueron abiertas por personas que no entendían lo que ponía por lo que no fueron tenidas en cuenta. Al final sólo unos pocos leyeron la carta, pero al intentar comunicar lo que esta decía tuvieron igual suerte que el pastor.

Desgraciadamente los magos se volvieron a equivocar en sus mediciones y tres años después, el último ser del planeta murió al no tener el planeta luz y calor suficientes para que la vida continuará, ya que el planeta cúbico se había alejado mucho de su estrella. Eso si, como nota importante decir que el equipo de la ciudad del pastor consiguió ganar la champion league de escondite con pelota ...

SOLUCIÓN "EL PAÍS": El cubo de suma cero... no existe. La soluciones propuestas son bastante mejores y más elegante que la mía. Pero como ya comenté, me lo estaba pasando también con la historia que ni siquiera intente mejorar la mía.



4 comentarios:

  1. Lo leeré entero esta noche. Te mereces que se lea completo por el trabajo realizado.

    Saludos. Antonio de Iniesta

    ResponderEliminar
  2. Impresionante!!

    A mí me ha gustado mucho la idea de la segunda chica.

    Si partimos de una situación de todos los vértices a 1--> Tenemos una suma de 14.


    Podemos ir 'alterando' uno a uno el valor de los vértices. Pero observamos que cada alteración siempre modifica la suma en un valor múltiplo de 4 (realmente puede ser -8,-4,0,4,8). Como hemos partido del valor 14 , nunca podremos llegar a quedarnos con 0.


    La explicación de por qué es múltiplo de 4 es fácil. Cada 'alteración' afecta a 4 sumados (el propio vértice + las 3 caras a las que afecta). Esos 4 valores cambian de signo.


    Si la suma de esos valores antes era S1=a+b+c+d
    Ahora la suma de esos valores es S2=-a-b-c-d

    Si restamos: S1-S2=2a+2b+2c+2d=2(a+b+c+d)=2S1.

    Si nos damos cuenta de que S1 es siempre par (porque está formada por 4 sumandos con valores 1 ó -1). Tenemos que S1-S2=2S1=4n.

    ResponderEliminar
  3. He recuperado la entrada, si bien no los comentarios que aportaban tanto.

    Saludos

    ResponderEliminar