Una Cuestión de Sombreros

Javier Lázaro, estudiante de 4º de Matemáticas en la Universidad de Zaragoza, presenta el sexto desafío de EL PAÍS. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 25 (00.00 horas del martes). 

Nota importante: Para aclarar todas las dudas sobre el problema y en atención a nuestros lectores sordos incluimos también el enunciado del problema por escrito. Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13...). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?

Atención: Para aclarar algunas dudas que han surgido ya entre los lectores. Los prisioneros no pueden hacer señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz... deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.




SOLUCIÓN:

PISTA: Número de sombreros par o impar

Vayamos ya a la solución enviada:


Primero decir que no se especifica si los presos sabrán el número de sombreros de cada color. Dependiendo de esto hay dos casos:

Caso A) Los presos no saben cuantos sombreros hay de cada color.

En este caso se pueden salvar 29 presos al 100% y el primero tendrá un 50% de posibilidades de salvarse.

Estrategia: El primero dirá Blanco si el número de sombreros blancos que ve es par y negro si el número de sombreros blancos que ve es impar. Por lo tanto los demás presos van a saber que hay un número de sombreros blancos pares si ha dicho blanco e impares si ha dicho negro. Por lo tanto a partir del segundo prisionero sólo hay que contar cuantos sombreros blancos quedan. Por ejemplo si el primero prisionero ha dicho blanco, es que hay un número par de sombreros blancos, si el segundo prisionero ve un número par de sombreros blancos su sombrero será negro, si ve un número impar, su sombrero será blanco. El tercer preso cuenta con la información del primero y del segundo, sabiendo si los sombreros blancos que quedan son pares o impares. El único preso que se la juega es el primero.

Caso B) Los presos saben cuantos sombreros hay de cada color.

Se salvan todos, basta con ver cuantos sombreros de cada color hay delante y cuántos detrás (los van diciendo los presos anteriores).


SOLUCIÓN DE "EL PAÍS": "Cómo salvar seguro a 29 presos"




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