Partículas en Colisión

Antonio Aranda Plata, profesor asistente honorario del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, presenta el decimocuarto de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 21 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.

A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.

En un recinto cerrado tenemos un conjunto de partículas en tres estados diferentes: positivo, negativo y neutro. Inicialmente hay 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras. En un momento dado, las partículas comienzan a moverse y a chocar entre ellas. Así, cuando dos partículas de diferente estado chocan, ambas cambian al estado restante. Es decir, si chocan una partícula positiva y otra negativa, tras el choque se convierten en dos neutras. De la misma manera, si chocan una negativa y una neutra se convierten en dos positivas; y si chocan una neutra y una positiva se convierten en dos negativas. Esto significa que cada vez que chocan dos partículas de diferente signo, hay una partícula menos de cada uno de sus estados mientras que al estado restante se incorporan dos unidades. Cuando colisionan dos de igual signo, no varían su estado.

La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado. Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo. En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.


SOLUCIÓN:
PISTA: Múltiplos de 3

Mi solución:

Llamando x a las partículas positivas, y a las negativas y z a las neutras, tenemos las siguientes colisiones:

y + z => 2x ---> 2x - y - z
x + z => 2y ---> 2y - x - z
y + x => 2z  ---> 2x - y - x

Para que sólo tengamos un tipo de partículas, los otros dos tipos deben tener en un momento determinado "t" la misma cantidad de partículas para anularse entre sí.

Tememos pues, tres posibles casos:

Caso 1) Después de un tiempo "t" el número de partículas positivas y negativas son iguales:

entonces:

30 - (2x - y - z) = 10 - (2y - x - z)

Siendo (2x - y - z) el número de partículas positivas que habrá después de un tiempo "t" y (2y - x - z) el número de partículas negativas.

Reordenando y sacando factor común:

20 = 3 (x -y)

x e y son número enteros, pero 20 no es divisible por 3, luego no es posible que las partículas positivas y negativas lleguen a ser iguales.

Caso 2) Después de un tiempo "t" el número de partículas positivas y neutras son iguales: (procediendo de manera análoga a la anterior)

30 - (2x - y - z) = 17 (2z - x - y)
13 = 3 (x - z)

x y z son números enteros, sin embargo 13 no es divisible por 3, por lo que tampoco se producirá esta situación.

Caso 3) Después de un tiempo "t" el número de partículas negativas y neutras son iguales: (procediendo de manera análoga al caso 1)

17 (2z - x - y) = 10 - (2y - x - z)
7 = 3 (z - y)

De nuevo 7 no es divisible por 3.

Conclusión: Al chocar dos partículas todas las partículas sufren modificaciones en cuanto a su cantidad, sólo existen tres tipos de modificaciones posibles de las cantidades  [x,y,z], que son [-1,-1,2]; [-1,2,-1]; y [2,-1,-1]. Partiendo de [20,10,17], se ha demostrado que es imposible llegar a tener un sólo estado.



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