Dos estudiantes de Estalmat-Catalunya Andrea Isern Granados, alumna de 3º de ESO en el Instituto Salvador Espriu de Barcelona, y Silvia Martos Baeza, alumna de 3º de ESO en el Instituto Cubelles, de Cubelles (Garraf, Barcelona) presentan el decimotercero de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 14 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.
A continuación, para aclarar posibles dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado por escrito.
Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:
a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).
b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).
c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.
d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.
e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.
Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
SOLUCIÓN:
PISTA: Yo he usado Semejanza de triángulos, triángulos isósceles y ángulos complementarios y suplementarios.
Mi solución de esta semana:
1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?. El ángulo debe ser: 4,5º.
Explicación: Tenemos con la puntada 20, perpendicular a la horizontal, un triángulo rectángulo (principal) con dos ángulos complementarios α y β.
Donde α+β=90º. Los dos catetos son la horizontal y la puntada 20, y el tercer lado será la hipotenusa.
Al realizar la segunda puntada (la primera es en la horizontal), tendremos un triángulo isósceles formado por las dos puntadas de longitud L, y cuyos ángulos serán α, α y 2β.
Al bordar la tercera puntada obtenemos un segundo triángulo isósceles, donde los dos lados iguales son las puntadas 2 y 3. Este triángulo tendrá los ángulos γ, γ y δ. (como se ve en el dibujo). Pero sabemos que α+β=90º, luego 2α+2β=180º, y γ=180–2β=2α.
Al bordar la cuarta puntada obtenemos un tercer triángulo isósceles, donde los lados iguales de longitud L, y ángulos (siguiendo el mismo procedimiento que en apartado anterior y por semejanza de triángulos) 3α, 3α y ε.
Por el mismo procedimiento podemos construir 19 triángulos isósceles con las 20 puntadas. En cada nuevo triángulo isósceles se incrementa el ángulo igual en α grados, luego para el triángulo 19, los ángulos iguales valdrán 19α. Pero en este último triángulo sabíamos por el dato del principio que esos dos lados iguales valían β grados (recordar el triángulo principal), Luego:
β=19α, como α+β=90º; tenemos que 20α=90º, por lo que despejando obtenemos que α=4,5º y β=85,5º
2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?
Aplicamos trigonometría básica tgα=L/25. tg4,5º=L/25. Despejando L=1,9675…cm
3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
Es imposible, las puntadas pares se pueden hacer perpendiculares a la horizontal (base del triángulo principal), pero las impares sólo pueden hacerse perpendiculares a la hipotenusa del triángulo principal, nunca a la horizontal y 21 es una puntada impar.
Como información adicional destacar que se pueden obtener analíticamente todos los ángulos α, para la puntada que queramos (eso sí si es una puntada par la última puntada será perpendicular a la base (horizontal) y si es impar perpendicular a la hipotenusa del triángulo rectángulo principal.
La fórmula es α=45/(p/2), siendo “p” el número de puntadas, esto es para las 21 primeras puntadas (por dar una solución al apartado 3) pero con la perpendicular a la hipotenusa):
Puntada 2: α=45/(2/2)=45º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 3: α=45/(3/2)=30º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 4: α=45/(4/2)=22,5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 5: α=45/(5/2)=18º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 6: α=45/(6/2)=15º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 7: α=45/(7/2)=12,8571..º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 8: α=45/(8/2)=11,25º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 9: α=45/(9/2)=10º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 10: α=45/(10/2)=9º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 11: α=45/(11/2)=8,1818…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 12: α=45/(12/2)=7,5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 13: α=45/(13/2)=6,923…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 14: α=45/(14/2)=6,4285…º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 15: α=45/(15/2)=6º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 16: α=45/(16/2)=5,625º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 17: α=45/(17/2)=5,2941…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 18: α=45/(18/2)=5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 19: α=45/(19/2)=4,7368…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 20: α=45/(20/2)=4,5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 21: α=45/(21/2)=4,2857…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
SOLUCIÓN "EL PAÍS": "Una camiseta bordada en ángulo de 4,5º"
Mi solución de esta semana:
1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?. El ángulo debe ser: 4,5º.
Explicación: Tenemos con la puntada 20, perpendicular a la horizontal, un triángulo rectángulo (principal) con dos ángulos complementarios α y β.
Donde α+β=90º. Los dos catetos son la horizontal y la puntada 20, y el tercer lado será la hipotenusa.
Al realizar la segunda puntada (la primera es en la horizontal), tendremos un triángulo isósceles formado por las dos puntadas de longitud L, y cuyos ángulos serán α, α y 2β.
Al bordar la tercera puntada obtenemos un segundo triángulo isósceles, donde los dos lados iguales son las puntadas 2 y 3. Este triángulo tendrá los ángulos γ, γ y δ. (como se ve en el dibujo). Pero sabemos que α+β=90º, luego 2α+2β=180º, y γ=180–2β=2α.
Al bordar la cuarta puntada obtenemos un tercer triángulo isósceles, donde los lados iguales de longitud L, y ángulos (siguiendo el mismo procedimiento que en apartado anterior y por semejanza de triángulos) 3α, 3α y ε.
Por el mismo procedimiento podemos construir 19 triángulos isósceles con las 20 puntadas. En cada nuevo triángulo isósceles se incrementa el ángulo igual en α grados, luego para el triángulo 19, los ángulos iguales valdrán 19α. Pero en este último triángulo sabíamos por el dato del principio que esos dos lados iguales valían β grados (recordar el triángulo principal), Luego:
β=19α, como α+β=90º; tenemos que 20α=90º, por lo que despejando obtenemos que α=4,5º y β=85,5º
2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?
Aplicamos trigonometría básica tgα=L/25. tg4,5º=L/25. Despejando L=1,9675…cm
3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
Es imposible, las puntadas pares se pueden hacer perpendiculares a la horizontal (base del triángulo principal), pero las impares sólo pueden hacerse perpendiculares a la hipotenusa del triángulo principal, nunca a la horizontal y 21 es una puntada impar.
Como información adicional destacar que se pueden obtener analíticamente todos los ángulos α, para la puntada que queramos (eso sí si es una puntada par la última puntada será perpendicular a la base (horizontal) y si es impar perpendicular a la hipotenusa del triángulo rectángulo principal.
La fórmula es α=45/(p/2), siendo “p” el número de puntadas, esto es para las 21 primeras puntadas (por dar una solución al apartado 3) pero con la perpendicular a la hipotenusa):
Puntada 2: α=45/(2/2)=45º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 3: α=45/(3/2)=30º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 4: α=45/(4/2)=22,5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 5: α=45/(5/2)=18º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 6: α=45/(6/2)=15º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 7: α=45/(7/2)=12,8571..º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 8: α=45/(8/2)=11,25º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 9: α=45/(9/2)=10º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 10: α=45/(10/2)=9º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 11: α=45/(11/2)=8,1818…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 12: α=45/(12/2)=7,5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 13: α=45/(13/2)=6,923…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 14: α=45/(14/2)=6,4285…º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 15: α=45/(15/2)=6º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 16: α=45/(16/2)=5,625º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 17: α=45/(17/2)=5,2941…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 18: α=45/(18/2)=5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 19: α=45/(19/2)=4,7368…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
Puntada 20: α=45/(20/2)=4,5º (perpendicular respecto la horizontal)
Puntada 21: α=45/(21/2)=4,2857…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
SOLUCIÓN "EL PAÍS": "Una camiseta bordada en ángulo de 4,5º"
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