Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en matemáticas por la Universidad de Extremadura y Responsable de Sistema de Información en el RACC presenta el duodécimo desafío de EL PAÍS. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 6 de junio (00.00 horas del martes).
A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado por escrito.
Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.
SOLUCIÓN:
PISTA: Yo lo he resuelto por Ecuaciones Diofánticas.
Participan 400 coches
Justificación:
Si tenemos una formación en cuadrado, tendremos $$n^2$$ coches, si despues hacemos con los mismos coches en rectangulo dónde una de filas es $$(n+5)$$, entonces el número de coches es $$(n+5)\cdot{m}$$, siendo m el número de columnas.
Como los coches son los mismos tenemos que:
$$n^2=(n+5)\cdot{m}$$, Entonces: $$m=\frac{n^2}{n+5}$$
Para qu exista la posibilidad de hallar la formación buscada, m debe ser un número entero. Por lo que la ecuación anterior es una Ecuación Diofántica.
Hacemos un cambio de variable: llamamos $$t=n+5$$,
Entonces $$m=\frac{(t-5)^2}{t}=\frac{t^2+25-10t}{t}=t-10+\frac{25}{t}$$
Como m es un número entero $$\frac{25}{t}$$, debe ser un número entero, esto sólo puede suceder si t toma alguno de los siguientes valores: $$1, 5, 25$$. Probamos estos valores
Para $$t=1\Longrightarrow{m=16}$$ (no válido porque $$n=t-5$$, y tendríamos un número de filas negativo).
Para $$t=5\Longrightarrow{m=0}$$ (no válido porque a la fuerza existen columnas)
Para $$t=25\Longrightarrow{m=16}$$ (Solución)
Por lo tanto $$m = 16$$, por lo que $$n = t - 5 = 25 - 5 = 20 filas$$
Por lo tanto $$n = 20$$, luego el número de coches sería $$20^2=400=25\cdot{16}$$
Participan 400 coches
Justificación:
Si tenemos una formación en cuadrado, tendremos $$n^2$$ coches, si despues hacemos con los mismos coches en rectangulo dónde una de filas es $$(n+5)$$, entonces el número de coches es $$(n+5)\cdot{m}$$, siendo m el número de columnas.
Como los coches son los mismos tenemos que:
$$n^2=(n+5)\cdot{m}$$, Entonces: $$m=\frac{n^2}{n+5}$$
Para qu exista la posibilidad de hallar la formación buscada, m debe ser un número entero. Por lo que la ecuación anterior es una Ecuación Diofántica.
Hacemos un cambio de variable: llamamos $$t=n+5$$,
Entonces $$m=\frac{(t-5)^2}{t}=\frac{t^2+25-10t}{t}=t-10+\frac{25}{t}$$
Como m es un número entero $$\frac{25}{t}$$, debe ser un número entero, esto sólo puede suceder si t toma alguno de los siguientes valores: $$1, 5, 25$$. Probamos estos valores
Para $$t=1\Longrightarrow{m=16}$$ (no válido porque $$n=t-5$$, y tendríamos un número de filas negativo).
Para $$t=5\Longrightarrow{m=0}$$ (no válido porque a la fuerza existen columnas)
Para $$t=25\Longrightarrow{m=16}$$ (Solución)
Por lo tanto $$m = 16$$, por lo que $$n = t - 5 = 25 - 5 = 20 filas$$
Por lo tanto $$n = 20$$, luego el número de coches sería $$20^2=400=25\cdot{16}$$
SOLUCIÓN "EL PAÍS": "Un cuadrado de 20 coches en cada lado"
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