Plano (Geometría)

PLANO

El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.
Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
  • Tres puntos no alineados.
  • Una recta y un punto exterior a ella.
  • Dos rectas paralelas.
  • Dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.
 
 
Representación gráfica informal de un plano.
 
 

Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)
(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(a_1, b_1 ,c_1) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!
Ésta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:
\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 => \begin{vmatrix}x-P_x & y-P_y & z-P_z\\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z\end{vmatrix}=0 => A x +B y +C z + D =0
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:
a(x − h) + b(y − k) + c(z − j) = 0

[editar] Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
  • Planos coincidentes: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
  • Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
  • Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.



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