Con unos días de retraso, publicó el desafío recién terminado. Entre las elecciones, el trabajo y otras gaitas no he tenido mucho tiempo. De hecho presente mi solución in extremis, pues hasta el lunes no leí el desafío.
María López Valdés, licenciada en Matemáticas y promotora de la empresa Bit&Brain Technologies, presenta el décimo desafío de EL PAÍS. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 24 de mayo (00.00 horas del miércoles).
NOTA IMPORTANTE: Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.
Tenemos un tablero cuadrado de 9x9=81 casillas iguales y 20 piezas idénticas de la forma que se muestra en el vídeo.
Se trata de ir poniendo piezas en el tablero en cualquier posición, como en un puzzle, con el objetivo final de cubrir el MAYOR número de cuadrados posible, o lo que es lo mismo, dejando vacíos el MENOR número de cuadrados posible. Cada cuadrado de la pieza ocupa exactamente un cuadrado del tablero y las piezas no se pueden solapar.
Dividimos el problema en dos cuestiones:
1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.
2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?
Nota: Las piezas son reversibles
SOLUCIÓN:
Esta semana, como ya he comentado anteriormente, presente mi solución al límite, por lo que al final, aún contestando bien a las dos preguntas formuladas, cometí un error a la hora de añadir información, pues como se muestra en el documento PDF de "El País".
Veamos la solución enviada:
Hola, un poco tarde pero aquí mi solución:
1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.
Lo vamos a hacer por coloración, pintamos el tablero 9x9 con dos colores, uno blanco, y otro negro a modo de tablero de ajedrez (alternancia de escaques blancos y negros). Colocamos una ficha cualquiera en el tablero. Observamos que la ficha siempre cubre 2 escaques negros y dos blancos y en un rectángulo 3x2, siempre hay 1 escaque vacío de color blanco y otro escaque vacío de color negro (como en la figura de abajo):
Si colocamos una segunda ficha, pegada a la primera (esto es empezando en el 1,2 de la figura o en el 2,0) volveremos a tener libres un escaque blanco y otro negro. Luego por cada ficha que coloco, siempre que cubra un escaque hueco de una ficha anterior, dejo siempre al mismo tiempo otro escaque hueco en el otro extremo de la ficha nueva del mismo color del que he cubierto. La única opción posible sería que con la última ficha cubriéramos todo el tablero, de forma que el hueco de la última ficha se cubriera con el hueco de la primera (por ejemplo); no obstante, esto sabemos que es imposible, pues el tablero es 9x9 = 81 escaques, que no es un número par, ni múltiplo de 4 (necesario por ocupar la ficha cuatro escaques).
En resumen no es posible dejar sólo un escaque hueco, porque siempre hay al menos dos escaques huecos uno de color negro y otro de color blanco.
2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?
El número menor de escaques (cuadrados) que pueden dejarse vacíos es 17.
De forma general, si tenemos un cuadrado nxn, con n par, el número de escaques que pueden dejarse vacíos es n. Para dibujar dicho caso, basta con rellenar nx(n-1) cuadrados del color que deseemos, y cada columna para (por ejemplo) subir todos los escaques de color un escaque hacia arriba. Quedarán n/2 escaques vacíos abajo (las columnas que hemos subido un escaque) y n/2 escaques arriba (las que no hemos subido que llegaban a n-1, pero no a n).
En el caso de un tablero pxp, con p impar, el número de escaques huecos que pueden dejarse vacíos es 2n-1. Que corresponden en realidad con los escaques huecos de (p-1)x(p-1), más toda una fila, o toda una columna. En nuestro caso particular, huecos en 8x8 son 8 más una fila que tiene 9 huecos = 17 huecos.
Muchas gracias.
SOLUCIÓN: "EL PAÍS": "Un tablero (casi) cubierto con piezas"
PDF adjunto
1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.
Lo vamos a hacer por coloración, pintamos el tablero 9x9 con dos colores, uno blanco, y otro negro a modo de tablero de ajedrez (alternancia de escaques blancos y negros). Colocamos una ficha cualquiera en el tablero. Observamos que la ficha siempre cubre 2 escaques negros y dos blancos y en un rectángulo 3x2, siempre hay 1 escaque vacío de color blanco y otro escaque vacío de color negro (como en la figura de abajo):
Si colocamos una segunda ficha, pegada a la primera (esto es empezando en el 1,2 de la figura o en el 2,0) volveremos a tener libres un escaque blanco y otro negro. Luego por cada ficha que coloco, siempre que cubra un escaque hueco de una ficha anterior, dejo siempre al mismo tiempo otro escaque hueco en el otro extremo de la ficha nueva del mismo color del que he cubierto. La única opción posible sería que con la última ficha cubriéramos todo el tablero, de forma que el hueco de la última ficha se cubriera con el hueco de la primera (por ejemplo); no obstante, esto sabemos que es imposible, pues el tablero es 9x9 = 81 escaques, que no es un número par, ni múltiplo de 4 (necesario por ocupar la ficha cuatro escaques).
En resumen no es posible dejar sólo un escaque hueco, porque siempre hay al menos dos escaques huecos uno de color negro y otro de color blanco.
2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?
El número menor de escaques (cuadrados) que pueden dejarse vacíos es 17.
De forma general, si tenemos un cuadrado nxn, con n par, el número de escaques que pueden dejarse vacíos es n. Para dibujar dicho caso, basta con rellenar nx(n-1) cuadrados del color que deseemos, y cada columna para (por ejemplo) subir todos los escaques de color un escaque hacia arriba. Quedarán n/2 escaques vacíos abajo (las columnas que hemos subido un escaque) y n/2 escaques arriba (las que no hemos subido que llegaban a n-1, pero no a n).
En el caso de un tablero pxp, con p impar, el número de escaques huecos que pueden dejarse vacíos es 2n-1. Que corresponden en realidad con los escaques huecos de (p-1)x(p-1), más toda una fila, o toda una columna. En nuestro caso particular, huecos en 8x8 son 8 más una fila que tiene 9 huecos = 17 huecos.
Muchas gracias.
SOLUCIÓN: "EL PAÍS": "Un tablero (casi) cubierto con piezas"
PDF adjunto
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