Ecuación diferencial

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferenciaal es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Contenido

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[editar] Introducción

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
  • \,y'= 2xy + 1 es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y=f(x) es la variable dependiente, \,x la variable independiente, y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.
  • La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0 es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemáticotransformada de Laplace). que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la

[editar] Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación.

[editar] Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

[editar] Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +_0(x)y=g(x), es decir:
  • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
  • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
  • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
  • \,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
  • \,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,, con a y b reales.
  • \,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

[editar] Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
  • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },
donde t\, es el tiempo y x\, es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

[editar] Solución de una ecuación diferencial

[editar] Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
  1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
  2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
  3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

[editar] Resolución de algunas ecuaciones





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