Alberto Elduque, catedrático de Álgebra de la Universidad Zaragoza, presenta el noveno desafío de EL PAÍS con el que se celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 16 de mayo (00.00 horas del martes).
NOTA IMPORTANTE: Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.
Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301. Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.
SOLUCIÓN:
PISTA: Quizás sólo dependa de las últimas cifras del exponente.
Veamos la solución en otro RELATO CORTO:
PARTE 1: MIGUEL Y MARÍA
Miguel era un joven pastor de llamas que vivía cordillera occidental de los Andes. Desde su pequeña aldea, cerca de la ciudad de Yungay, podía divisarse el pico de Huascarán, el cuál es el pico más alto de Perú, con sus imponentes 6768 m de altura.
Su aldea se encontraba además cerca de un famoso yacimiento arqueológico en el sitio de Keusho, que data de 1600 A.C. De hecho Miguel siempre pasaba cerca de ese asentamiento con sus llamas, camino de la zona de pastos. Aunque la verdad es que ese no era el camino más directo a su destino, pero sin embargo, él se desviaba día tras día 4 kilómetros de su ruta para pasar por allí. La razón no era otra que María, una joven arqueóloga peruana que trabajaba en el yacimiento, con la que siempre se detenía un rato a tomar una chicha de jora.
Uno de los días, María le preguntó si conocía la zona norte, cerca del Huascarán. Miguel le contestó que había ido alguna vez, pero que era un sitio peligroso lleno de espíritus que no querían que les molestaran. María le comentó que según unas inscripciones en una de la piedras que habían desenterrado recientemente, en teoría podría haber una ciudad sagrada por aquella zona. Le comentó además que aquella información era confidencial, ya que aún no se había informado a las autoridades competentes del hallazgo y que ella quería echar un vistazo antes de que los burócratas tomaran cartas en el asunto. Se notaba que María estaba dispuesta a todo por ser la primera en tener la posibilidad de encontrar la ciudad. Miguel volvió a insistir en que era un sitio peligroso y más para que fuera sola. Momento en que aprovechó María para decirle que por eso quería contar con él, para que la acompañará y le hiciera de guía. Miguel no tenía ninguna gana de ir hacía esa zona, pero ya se sabe una persona enamorada suele hacer cosas contrarias a su sentido común, así que finalmente aceptó. Se citaron para el domingo siguiente, único día libre que tenía Miguel, aunque sabía que le iba a costar explicar su ausencia de la Misa.
PARTE 2: EL CAMINO.
El domingo siguiente a las 6 de la mañana Miguel ya estaba esperando en el lugar acordado. María llegó 20 minutos tarde, ya que según sus propias palabras había tenido que esconderse y ser muy sigilosa para que nadie notara que se iba, y los preparativos para que nadie notara su ausencia también se habían alargado más de lo previsto.
La primera parte de la caminata fue bastante sencilla, caminaron por senderos angostos pero bien delimitados. Pero a medida que se iban desviando hacia su objetivo el camino se hacía más arduo y empinado. Las primeras 3 horas fueron bastante entretenidas, durante las cuales estuvieron hablando entre ellos sin cesar. María le contaba entusiasmada todos los descubrimientos que habían hecho y cuan trascendentes podrían llegar a ser, y que consecuencias tendría que ella fuera la primera persona en descubrir la ciudad sagrada. Miguel era feliz simplemente escuchando la voz de María.
La segunda parte de la camina fue otro cantar, se perdieron un par de veces, y dejó de hacer caminos artificiales, todo dependía de la interpretación de María de los datos escritos en la piedra sagrada, de los cuales tenía una copia en papel, que había hecho con un carboncillo.
Esto provoco una pequeña discusión, ya que Miguel tenía bastante miedo de perderse en esos parajes, pues era bien sabido que quién pasaba allí la noche tenía muchas posibilidades de no volver al mundo de los vivos.
Una de las veces, cuando ya parecían desesperados y creían que vagaban un poco sin rumbo, María descubrió en una gran piedra a la derecha de donde se encontraban la señal que andaba buscando. A simple vista parecía una muesca natural en la piedra, pero si uno se acercaba, en seguida se daba cuanta que esa marca había sido realizada por las manos de los hombres. Además tal como pudo observar Miguel, coincidía con exactitud con una de las marcas que había en el papel, para el inteligible que llevaba María.
PARTE 3: LA PUERTA.
Seis horas después de su partida, a eso del mediodía, por fin llegaron al lugar indicado en la piedra sagrada. Lo malo es que allí no había nada a simple vista. Sólo algunas piedras gigantes apoyadas en la ladera de la montaña, pero nada hacía sospechar que allí hubiera habido alguna vez una ciudad sagrada o algo semejante. Miguel comentó que era hora de volver, María había visto lo que quería ver con sus propios ojos, y si se quedaban mucho la noche los pillaría en el camino de vuelta.
Pero María no estaba dispuesta después de 6 horas de larga caminata a rendirse tan pronto, y sin mucha dilación se puso a observar cada una de las piedras de alrededor. No tuvo que esperar mucho, en una de las grandes rocas había una pequeña apertura cubierta por un matorral. Al apartarlo pudo ver que la apertura conducía a una pequeña cueva. Cogió su frontal y comenzó a registrar la cueva. Miguel entró en pánico, odiaba la oscuridad y sabía que no era bueno meterse en una cueva, sin ni siquiera haber avisado a alguien que se iba allí, muchos lo habían pagado con su vida. Pero el amor a veces nos hace hacer cosas irracionales, y finalmente ante la insistencia de ella, entró en la cueva.
Unos 50 metros más adelante encontraron lo que María buscaba una gran losa a modo de puerta bloqueaba el camino. Toda la losa estaba escrita con los mismos símbolos que María tenía en su papel.
PARTE 4: EL ENIGMA.
Una hora tardo María en descifrar el mensaje, y según lo iba descifrando se iba poniendo más seria pues para poder continuar debían resolver un enigma matemático, y ella apenas recordaba algo de matemáticas, pues era bien sabido que las Matemáticas no eran parte de la cultura en general. Ella era de letras, y los de letras no tenían porque saber Matemáticas. El enigma decía así:
“Hallar las dos últimas cifras del número: 2528xxxx7301
Quién así lo haga y las escriba correctamente en el cuadrado sagrado
será considerado un erudito y se le permitirá el paso”
María estaba desolada, como alguien iba a conseguir calcular eso, ni siquiera con un ordenador, además el tiempo había borrado cuatro de los números, lo que hacía que hubiera muchísimas combinaciones posibles. Lo del cuadrado mágico era más entendible pues había un pequeño cuadrado decorado debajo con un visible espacio en blanco en el centro. Además su inútil guía al que sólo había invitado porque sabía que estaba coladito por ella y se podría aprovechar de él no le sería de ninguna ayuda.
PARTE 5: CONTANDO LLAMAS Y HACIENDO TABLAS.
Miguel en seguida se percato del estado de ánimo de su amada, y le preguntó que le ocurría, si él podía ayudar en algo. María le miro con desprecio y le preguntó irónicamente ¿Acaso sabes Matemáticas?, a lo que Miguel contestó: “Se contar llamas”. María comenzó a reír a carcajadas y a mofarse del pobre pastor, y a gritar: “De qué coño me sirve que sepas contar llamas, si no conocieras la zona, ni siquiera le dirigiría la palabra a un zarrapastroso como tú”. Miguel se sintió muy dolido, pero atribuyo los comentarios de la joven a su estado de nerviosismo, así que aspirando profundamente le contesto: “Déjame intentar ayudarte, si no lo intentamos, ¿cómo puedes saber que no podemos hacerlo?”. María decidió divertirse un rato a costa del pobre pastor, le tradujo el mensaje con la intención del que pastor reconociera su torpeza y así poder mofarse de él.
Miguel no comprendió en un primero momento el enigma que era eso de 2 y encima muchos números. Le preguntó a María, que con aire de superioridad le explicó lo único que había recordado de Matemáticas, eran potencias del 2, cada número de arriba significaba cuantas veces habíamos multiplicado a 2 por sí mismo, esto es: 21=2; 22=2·2=4, y así hasta llegar al número del enigma y que a 2 se le llamaba base y al número de arriba exponente.
Llevaban bastante tiempo en la cueva, pero afortunadamente llevaban linternas de sobra. Miguel se sentó en el suelo de la cueva y comenzó a cavilar:
“Vamos a ver si me entero 21 es 2, y 22 es dos veces dos, 23 es entonces 2·2·2, interesante. Bien vamos a pensar si yo tengo 2 llamas eso de me da 2 llamas, si tengo 22 llamas eso me da 4 llamas, si tengo 23 llamas eso me da 8 llamas, si tengo 24 llamas eso me da 8·2, que son 16 llamas, si tengo 25 eso me da 16·2, que son 32 llamas, si tengo 26 me da 32·2 que son 64, vaya sería rico 64 llamas, nada más y nada menos. No pienses en eso ahora Miguel, ponte a resolver el enigma, se dijo a sí mismo.
Ufff voy por 6 ya se complica la cosa, así que no creo que sea posible llegar a ese número tan grande", de hecho pensó en ese mismo momento que nunca había visto un número tan grande.
Pero por esas cosas que suceden a veces por puro azar y otras por talentos ocultos, tuvo una pequeña revelación, la última cifra se repetía cada 4 números que calculaba ¿y si también se repetían las 2 últimas cifras cada cierto tiempo.
Miguel sonrió y con su cayado de pastor comenzó a dibujar una tabla en una zona de arenilla que había en la cueva, cerca de la losa. En la primera fila colocó las cuatro primeras potencias del 2, y en la segunda los resultados de estas, y así prosiguió multiplicando por 2, tabla de multiplicar que se sabía muy bien, pero colocando en el resultado sólo las dos últimas cifras de la multiplicación que se obtenía:
PARTE 5: CONTANDO LLAMAS Y HACIENDO TABLAS.
Miguel en seguida se percato del estado de ánimo de su amada, y le preguntó que le ocurría, si él podía ayudar en algo. María le miro con desprecio y le preguntó irónicamente ¿Acaso sabes Matemáticas?, a lo que Miguel contestó: “Se contar llamas”. María comenzó a reír a carcajadas y a mofarse del pobre pastor, y a gritar: “De qué coño me sirve que sepas contar llamas, si no conocieras la zona, ni siquiera le dirigiría la palabra a un zarrapastroso como tú”. Miguel se sintió muy dolido, pero atribuyo los comentarios de la joven a su estado de nerviosismo, así que aspirando profundamente le contesto: “Déjame intentar ayudarte, si no lo intentamos, ¿cómo puedes saber que no podemos hacerlo?”. María decidió divertirse un rato a costa del pobre pastor, le tradujo el mensaje con la intención del que pastor reconociera su torpeza y así poder mofarse de él.
Miguel no comprendió en un primero momento el enigma que era eso de 2 y encima muchos números. Le preguntó a María, que con aire de superioridad le explicó lo único que había recordado de Matemáticas, eran potencias del 2, cada número de arriba significaba cuantas veces habíamos multiplicado a 2 por sí mismo, esto es: 21=2; 22=2·2=4, y así hasta llegar al número del enigma y que a 2 se le llamaba base y al número de arriba exponente.
Llevaban bastante tiempo en la cueva, pero afortunadamente llevaban linternas de sobra. Miguel se sentó en el suelo de la cueva y comenzó a cavilar:
“Vamos a ver si me entero 21 es 2, y 22 es dos veces dos, 23 es entonces 2·2·2, interesante. Bien vamos a pensar si yo tengo 2 llamas eso de me da 2 llamas, si tengo 22 llamas eso me da 4 llamas, si tengo 23 llamas eso me da 8 llamas, si tengo 24 llamas eso me da 8·2, que son 16 llamas, si tengo 25 eso me da 16·2, que son 32 llamas, si tengo 26 me da 32·2 que son 64, vaya sería rico 64 llamas, nada más y nada menos. No pienses en eso ahora Miguel, ponte a resolver el enigma, se dijo a sí mismo.
Ufff voy por 6 ya se complica la cosa, así que no creo que sea posible llegar a ese número tan grande", de hecho pensó en ese mismo momento que nunca había visto un número tan grande.
Pero por esas cosas que suceden a veces por puro azar y otras por talentos ocultos, tuvo una pequeña revelación, la última cifra se repetía cada 4 números que calculaba ¿y si también se repetían las 2 últimas cifras cada cierto tiempo.
Miguel sonrió y con su cayado de pastor comenzó a dibujar una tabla en una zona de arenilla que había en la cueva, cerca de la losa. En la primera fila colocó las cuatro primeras potencias del 2, y en la segunda los resultados de estas, y así prosiguió multiplicando por 2, tabla de multiplicar que se sabía muy bien, pero colocando en el resultado sólo las dos últimas cifras de la multiplicación que se obtenía:
21 | 22 | 23 | 24 |
02 | 04 | 08 | 16 |
25 | 26 | 27 | 28 |
32 | 64 | 28 | 56 |
29 | 210 | 211 | 212 |
12 | 24 | 48 | 96 |
213 | 214 | 215 | 216 |
92 | 84 | 68 | 36 |
217 | 218 | 219 | 220 |
72 | 44 | 88 | 76 |
Miguel paro de repente, pues se dio cuenta de tres hechos importantes:
a) El primero que terminase como terminase el número del enigma, las dos últimas cifras del número sólo podían estar en la columna 1 o en la 3, pues la 2 y la 4 eran para exponentes pares, y hasta él que era un simple pastor se percataba de que el exponente del número ese era impar pues terminaba en 1.
b) El segundo hecho importante fue que comprobó que los números de los exponentes de las columnas se incrementaban de 4 en 4 de una fila a la siguiente, esto es si en la primera fila el exponente era 1, en la segunda era 1+4=5 y en la tercera 5+4 =9, y así en todas las columnas.
c) Por último el hecho más relevante es que los resultados de las potencias del dos también seguían una pauta en cada una de las columnas a partir de la segunda fila. En la primera columna los resultados se incrementaban de 80 en 80, en la segunda de 60 en 60, en la tercera de 20 en 20 y en la última de 40 en 40. Y todo el mundo sabía que sumar era más fácil que multiplicar.
Con lo que había descubierto rehízo la tabla, quedándose sólo con las columnas 1 y 3 y al sumar tomando sólo las dos últimas cifras:
21 | 23 |
02 | 08 |
21+4=5 | 23+4=7 |
32 | 28 |
25+4=9 | 27+4=11 |
32+80→12 | 28+20→48 |
29+4=13 | 211+4=15 |
12+80→92 | 48+20→68 |
213+4=17 | 215+4=19 |
92+80→72 | 68+20→88 |
217+4=21 | 219+4=23 |
72+80→52 | 88+20→08 |
Tenía la intención de seguir hasta 301, pues sumando sabría que llegaría, pero volvió a darse cuenta de dos hechos importantes:
a) Los exponentes impares se iban intercambiando, esto es si en la primera columna aparecía el 1, en la segunda aparecía el 11, y el 21 volvía a aparecer en la primera, por lo que el 31 aparecería en la segunda y el 41 por lo tanto tendría que pertenecer a la primera columna. Comprobó que sucedía el mismo con los exponentes que terminaban en 3, 5, 7 y 9, todos se iban alternando entre las dos columnas.
b) El segundo hecho y quizás el más importante es que había aparecido una coincidencia, las dos últimas cifras del número 23 eran iguales que las dos últimas cifras del número 223, exactamente 20 exponentes después. ¿Ocurriría lo mismo siempre?
María miraba intrigada los números que iba poniendo, preguntándose es que el pastor realmente sabía Matemáticas, o simplemente estaba haciendo tiempo porque no se atrevía a confesar que no tenía ni idea. Además habían pasado las horas sin darse cuenta y e hacía tarde y mucho temía que tendrían que pasar allí la noche, que por lo menos estaban protegidos de las frías temperaturas de fuera.
Miguel seguía a lo suyo, pensó que sería bueno probar primero su segunda hipótesis. Si lo que suponía era cierto las dos últimas cifras de 25 serían igual a las de 225 y las de 27 a las de 227, así que con sólo añadir una fila de resultados a su tabla lo sabría y además le servía para comprobar su primera suposición ya que 25 aparecía en la primera columna después de que 15 apareciera en la segunda, y 27 aparecía en la segunda columna después de que 17 apareciera en la primera. (El pastor había supuesto bien, ya que como el lector sabe al haber sólo cinco cifras impares en los exponentes: 1, 3, 5, 7 y 9, y colocando dos números impares por fila, siempre iremos alternado en las columnas las cifras, ya que en tres filas caben 6 números, por lo que comenzaremos otra vez por 1 pero en la segunda columna, rellenando el sexto hueco).
Miguel añadió una fila más:
María miraba intrigada los números que iba poniendo, preguntándose es que el pastor realmente sabía Matemáticas, o simplemente estaba haciendo tiempo porque no se atrevía a confesar que no tenía ni idea. Además habían pasado las horas sin darse cuenta y e hacía tarde y mucho temía que tendrían que pasar allí la noche, que por lo menos estaban protegidos de las frías temperaturas de fuera.
Miguel seguía a lo suyo, pensó que sería bueno probar primero su segunda hipótesis. Si lo que suponía era cierto las dos últimas cifras de 25 serían igual a las de 225 y las de 27 a las de 227, así que con sólo añadir una fila de resultados a su tabla lo sabría y además le servía para comprobar su primera suposición ya que 25 aparecía en la primera columna después de que 15 apareciera en la segunda, y 27 aparecía en la segunda columna después de que 17 apareciera en la primera. (El pastor había supuesto bien, ya que como el lector sabe al haber sólo cinco cifras impares en los exponentes: 1, 3, 5, 7 y 9, y colocando dos números impares por fila, siempre iremos alternado en las columnas las cifras, ya que en tres filas caben 6 números, por lo que comenzaremos otra vez por 1 pero en la segunda columna, rellenando el sexto hueco).
Miguel añadió una fila más:
221+4=25 | 223+4=27 |
52+80→32 | 08+20→28 |
Confirmado las dos últimas cifras coincidían cada 20 exponentes, lo comprobó con alguna cifra más y lo dio por válido. (Los más astutos lectores se habrán dado cuenta que las dos últimas cifras se repiten cada 5 filas justo en el momento que los exponentes impares vuelven a la columna de origen, esto es el exponente 5 es de la primera columna, el 15 de la segunda, y el 25 de la primera (dónde el 5 vuelve a la primera columna), luego justo ahí y no en otro lugar se repiten las dos últimas cifras).
Miguel se había dado cuenta que ya había casi resuelto el problema. Sólo tenía que ver en que columna caía el 301 final del exponente del número del enigma. Al lado de la tabla anterior calculó en que columna estaría el 2301 y cuáles serían sus últimas dos cifras. Para ellos dado que las cifras se repetían cada 20 exponentes, dividió 301 entre 20 y que le dio 15 y pico, se quedo con el número entero, y entonces calculó:
Luego el 2301 caía en la misma columna que el 21 es decir en la primera. Sabía que el 21 era una excepción pero porque lo había observado (quizás por ser el primero), pero salvo 21, las dos últimas cifras de 221, 241, 261, 281, 2101, …, 2301, …., 27301, …., 2528xxxx7301, serían las mismas, sólo tuvo que mirar a la tabla al 221, para darse cuenta que él número de dos cifras buscado era: 52
Loco de alegría grito: 52, 52, 52, 52,…, el número que buscamos es el
María no daba crédito a sus oídos, Miguel decía que había descubierto el número, menudo imbécil. Pero prefirió seguirle la corriente, la noche se acercaba y no deseaba provocarlo más por si acaso, después de todo estaban los dos solos y nadie sabía que estaban allí.
PARTE 6 Y FINAL: EL DESENLACE.
Miguel se acerco al cuadrado sagrado y con su cayado dibujo el 52, pero no sucedió nada. María sonreía para sí, pobre iluso se decía. Miguel volvió a intentarlo y nada sucedió. Finalmente Miguel sonrió y se volvió hacia María preguntándole, ¿Cómo se escribe 52 en esa lengua tan rara?. María se sorprendió, pues claro, no había caído, aunque Miguel hubiera acertado de pura chiripa no podría poner el número si no sabía los símbolos adecuados. Así que por un instante, sintió verdadera curiosidad y arrancándole de las manos el cayado a Miguel mientras decía: ¡Quita de ahí, deja a una profesional!, comenzó a dibujar el 52 en la antigua lengua. Le llevó un tiempo pues no quería equivocarse, pero al final lo consiguió escribir sin problemas.
Al principio no sucedió nada, pero a los 30 segundos un ruido sordo comenzó a oírse y la losa comenzó a abrirse milímetro a milímetro. María estaba muy sorprendida, en primer lugar por lo inesperado de la situación y en segundo se preguntaba si de verdad Miguel había calculado lo que ni los ordenadores podrían.
La puerta finalmente se abrió del todo y dejó a la luz del frontal una pequeña estancia, en dónde no había ni los tesoros esperados, ni la ciudad sagrada que buscaban, sólo otra pequeña losa mucho más ornamentada que la primera con más inscripciones.
María estaba un poco desilusionada, pero pensando que se trataba de otra pista, se puso a traducir lo escrito en la losa. Trabajo duro durante unas horas, mientras Miguel le iba proporcionando todo lo que necesitaba, agua, comida, una manta, …
A eso de las 8 de la mañana del día siguiente termino, cogió sus notas y volvió a leer lo que había descubierto escrito en la losa, y sonrió para sí misma bastante avergonzada, había sido una necia, quizás era hora de cambiar de actitud. Se volvió hacia Miguel y le dijo: “Es hora de irnos, ya te he robado demasiado tiempo”.
Miguel no quiso preguntarle nada, simplemente se puso a recoger, y emprender el camino de regreso a su lado. Caminaron unas horas sin hablar, hasta que a medio camino, María se paro es seco, y con lágrimas en los ojos dijo: “Perdóname Miguel te he arrastrado a esta aventura aprovechándome de ti, has venido sin pedir nada a cambio, y yo lo único que he hecho ha sido insúltate y menospreciarte. Lo siento de corazón no volverá a suceder, y como mínimo te tengo que invitar a comer por tu ayuda, y no acepto un no por respuesta”.
Miguel estaba alucinando, le pedía perdón y además le invitaba a comer, a él, si a él. El cambio había sido sustancial desde que había descifrado lo escrito en la última losa, así que preguntó algo que quería saber desde hacía horas: ¿Qué había escrito en la última losa?
María le miro muy pensativa, y durante tres o cuatro minutos no dijo nada, hasta que contesto:
301 - (15·20) = 301 – 300 = 1
Luego el 2301 caía en la misma columna que el 21 es decir en la primera. Sabía que el 21 era una excepción pero porque lo había observado (quizás por ser el primero), pero salvo 21, las dos últimas cifras de 221, 241, 261, 281, 2101, …, 2301, …., 27301, …., 2528xxxx7301, serían las mismas, sólo tuvo que mirar a la tabla al 221, para darse cuenta que él número de dos cifras buscado era: 52
Loco de alegría grito: 52, 52, 52, 52,…, el número que buscamos es el
52
María no daba crédito a sus oídos, Miguel decía que había descubierto el número, menudo imbécil. Pero prefirió seguirle la corriente, la noche se acercaba y no deseaba provocarlo más por si acaso, después de todo estaban los dos solos y nadie sabía que estaban allí.
PARTE 6 Y FINAL: EL DESENLACE.
Miguel se acerco al cuadrado sagrado y con su cayado dibujo el 52, pero no sucedió nada. María sonreía para sí, pobre iluso se decía. Miguel volvió a intentarlo y nada sucedió. Finalmente Miguel sonrió y se volvió hacia María preguntándole, ¿Cómo se escribe 52 en esa lengua tan rara?. María se sorprendió, pues claro, no había caído, aunque Miguel hubiera acertado de pura chiripa no podría poner el número si no sabía los símbolos adecuados. Así que por un instante, sintió verdadera curiosidad y arrancándole de las manos el cayado a Miguel mientras decía: ¡Quita de ahí, deja a una profesional!, comenzó a dibujar el 52 en la antigua lengua. Le llevó un tiempo pues no quería equivocarse, pero al final lo consiguió escribir sin problemas.
Al principio no sucedió nada, pero a los 30 segundos un ruido sordo comenzó a oírse y la losa comenzó a abrirse milímetro a milímetro. María estaba muy sorprendida, en primer lugar por lo inesperado de la situación y en segundo se preguntaba si de verdad Miguel había calculado lo que ni los ordenadores podrían.
La puerta finalmente se abrió del todo y dejó a la luz del frontal una pequeña estancia, en dónde no había ni los tesoros esperados, ni la ciudad sagrada que buscaban, sólo otra pequeña losa mucho más ornamentada que la primera con más inscripciones.
María estaba un poco desilusionada, pero pensando que se trataba de otra pista, se puso a traducir lo escrito en la losa. Trabajo duro durante unas horas, mientras Miguel le iba proporcionando todo lo que necesitaba, agua, comida, una manta, …
A eso de las 8 de la mañana del día siguiente termino, cogió sus notas y volvió a leer lo que había descubierto escrito en la losa, y sonrió para sí misma bastante avergonzada, había sido una necia, quizás era hora de cambiar de actitud. Se volvió hacia Miguel y le dijo: “Es hora de irnos, ya te he robado demasiado tiempo”.
Miguel no quiso preguntarle nada, simplemente se puso a recoger, y emprender el camino de regreso a su lado. Caminaron unas horas sin hablar, hasta que a medio camino, María se paro es seco, y con lágrimas en los ojos dijo: “Perdóname Miguel te he arrastrado a esta aventura aprovechándome de ti, has venido sin pedir nada a cambio, y yo lo único que he hecho ha sido insúltate y menospreciarte. Lo siento de corazón no volverá a suceder, y como mínimo te tengo que invitar a comer por tu ayuda, y no acepto un no por respuesta”.
Miguel estaba alucinando, le pedía perdón y además le invitaba a comer, a él, si a él. El cambio había sido sustancial desde que había descifrado lo escrito en la última losa, así que preguntó algo que quería saber desde hacía horas: ¿Qué había escrito en la última losa?
María le miro muy pensativa, y durante tres o cuatro minutos no dijo nada, hasta que contesto:
“El único lugar sagrado real que existe es el que uno mismo crea y la única ciudad real que siempre existe es la que habita en nuestro corazones, dependerá de cómo construyamos nuestros corazones, para ser dignos o no, de lo sagrado”
Miguel sonrió para sí, era una cita un poco cursi, pero había tocado a su amiga en lo más hondo. María miro fijamente a Miguel y le hizo la pregunta que llevaba tiempo deseando hacerle:
- ¿Cómo supiste el número que había que escribir?,
- lo calculé, contesto Miguel,
- ¿Y no hubieras sabido nada de Matemáticas?, volvió a preguntar María
- bueno entonces sólo habría que haber probado 50 posibilidades
- ¿50?
- si se pedían sólo las dos últimas cifras, luego eso sólo daba 100 posibilidades del 00 al 99, pero como debía ser un número par por estar multiplicado por dos en realidad sólo podía haber 50 posibilidades. Aunque en realidad sólo existían 21 posibilidades, pues salvo el primer número el 02, los demás se repiten cada 20 números. Aunque sabiendo que el exponente es impar podíamos haberlo reducido sólo a 11 posibilidades.
- Increíble, y ¿cómo supiste cuál era de los 11?
- Bueno se podían reducir aún más las posibilidades, bastaba con saber que como ya te he dicho cada 20 números se repetían las dos últimas cifras, pero también se repetía la última cifra del exponente de las potencias. Luego bastaba con buscar la potencia más pequeña cuya última cifra del exponente coincidiera y a la que se pudiera llegar restándole múltiplos de 20.
- De verdad Miguel, no creía que nunca dijera esto, pero estoy gratamente impresionada.
Llegaron a eso de las dos de la tarde al yacimiento, y es cuando ambos se percataron de que tendrían problemas. Finalmente habían notado la ausencia de María y se habían organizado partidas de búsqueda, y Miguel sabía que a esa hora ya debía estar en los pastos con sus llamas, su jefe le iba a matar.
No queremos extendernos más en nuestra historia, sólo comentar que los problemas que se encontraron al llegar, no tardaron en solucionarse, y que a partir de aquel viajes, si bien, nunca llegaron a nada más, fue el inicio de una gran amistad entre María y Miguel que duro muchos años, hasta que la distancia entre las dos ciudades en las que vivían hizo su trabajo sucio.
SOLUCIÓN "EL PAÍS": Un enorme número que acaba... en 52
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