Un Cuadrado Mágico de Productos

Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto Ciencias Matemáticas (ICMAT), plantea el tercer desafío matemático de EL PAÍS. Manda tu solución a problemamatematicas@elpais.es antes de las 00.00 horas del próximo martes 5 de abril. 

Nota importante: Por si queda alguna duda de la formulación del problema y a petición también de los lectores sordos, incluimos aquí el enunciado por escrito.

El problema consiste en completar un cuadrado de tres por tres, donde ya se ha escrito el 15 en la posición central, con otros ocho números enteros positivos, todos ellos distintos entre sí y de tal manera que al multiplicar los tres números de cada fila, de cada columna y de cada una de las dos diagonal obtengamos, en todos los casos, el mismo resultado.

No hace falta explicar cómo se ha encontrado. Es suficiente con enviar el cuadrado de la manera siguiente, sustituyendo las cruces por los números del cuadrado:

Fila 1: x x x

Fila 2: x 15 x

Fila 3: x x x

Cualquier cuadrado que cumpla las condiciones del problema (recordad que los 9 números deben de ser enteros positivos y distintos) será considerado una respuesta correcta.

SOLUCIÓN:

La solución al problema se publicará cuando termine el plazo de presentación y antes de la publicación de la misma por "El País". Es un problema mucho más fácil que el anterior, por lo que habrá mucha gente que sea capaz de resolverlo. Vamos a conocer un poco más sobre los cuadrados mágicos, que tienen su origen en China.

Los chinos han sido siempre muy aficionados a los diseños armónicos, aritméticos y geométricos, y no es nada sorprendente que el primer ejemplo registrado de cuadrado mágico haya aparecido en China. Este es el cuadrado:

$$\boxed{\begin{matrix}{4}&{9}&{2}\\{3}&{5}&{7}\\{8}&{1}&{6}\end{matrix}}$$

El cuadrado les fue comunicado a los hombres por una tortuga del río Lo, según  la leyenda, en los días del emperador Yii, famoso ingeniero hidráulico. El interés por este tipo de modelos es lo que llevó al autor de los "Nueve Capítulos" (Uno de los más famosos libros matemáticos chinos de la antigüedad con 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, ingeniería, impuestos, ...) a resolver el sistema de ecuaciones lineales:

$$3x+2y+z=39$$

$$2x+3y+z=34$$

$$x+2y+3z=26$$

mediante operaciones sobre las columnas de la matriz

$$\boxed{\begin{matrix}{1}&{2}&{3}\\{2}&{3}&{2}\\{3}&{1}&{1}\\{26}&{34}&{39}\end{matrix}}$$

para reducirla a la forma:

$$\boxed{\begin{matrix}{0}&{0}&{3}\\{0}&{5}&{2}\\{36}&{1}&{1}\\{99}&{24}&{39}\end{matrix}}$$

donde esta segunda forma representa el sistema de ecuaciones:

$$36z=99$$

$$5y+z=24$$

$$3x+2y+z=39$$

de la cual pueden obtenerse fácilmente, y de una manera sucesiva, los valores de $$x,y,z$$. Por lo tanto los cuadrados mágicos están en el origen de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Otra curiosidad: En la obra de Durero (contemporáneo de Leonardo), puede apreciarse cierta influencia de Pacioli, especialmente en el grabado de 1514 titulado Melancolía, en el que aparece de una manera prominente un cuadrado mágico.

$$\boxed{\begin{matrix}{16}&{3}&{2}&{13}\\{5}&{10}&{11}&{8}\\{9}&{6}&{7}&{12}\\{4}&{15}&{14}&{1}\end{matrix}}$$

Este cuadrado mágico suele considerarse como el primero que aparece en Occidente, pero Pacioli había dejado un manuscrito inédito titulado "De viribus quantitatis" (manuscrito es conservado en la Biblioteca Universitaria de Bolonia (Codex n. 250). Ha quedado inédito hasta su publicación en 1997) en el que trata ya de tales cuadrados.


NOTA: Javier Cilleruelo, publicó hace un tiempo un artículo muy interesante sobre Cuadrados Mágicos: El Diablo de los Números.

CUADRADOS MÁGICOS DE SUMAS: Vamos a ver un ejemplo con cuadrados mágicos de sumas:

Sea el cuadrado mágico siguiente:

$$\boxed{\begin{matrix}{A}&{B}&{C}\\{D}&{E}&{F}\\{G}&{H}&{I}\end{matrix}}$$

Para que sea un cuadrado mágico de sumas, se tiene que cumplir que:

 $$A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G$$

Tomamos el número central $$E$$ por estar más veces representado. Entonces:

$$D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G$$

$$D+F=B+H=A+I=C+G$$

Ahora bien, sabemos que: $$(D+E+F)+(B+E+H)=(A+B+C)+(G+H+I)$$, luego:

$$D+F+2E=A+C+G+I$$

Pero $$D+F=A+I$$, por lo que: $$2E=C+G$$

¿Cuánto vale entonces la suma buscada de columnas, filas o diagonales?. Tomemos la diagonal $$CEG$$. Su suma será: $$C+E+G$$, pero $$C+G=2E$$. Por lo tanto la suma buscada vale $$E+2E=3E$$. Es decir el triple del valor del número $$E$$ central.

Operando con las igualdades anteriores, y sabiendo que los números no se pueden repetir, y llamando ahora al número central $$A$$, podemos llegar a cuadrados como este:

$$\boxed{\begin{matrix}{A+B}&{A-(B+C)}&{A+C}\\{A-(B-C)}&{A}&{A+(B-C)}\\{A-C}&{A+(B+C)}&{A-B}\end{matrix}}$$

Si por ejemplo, tomamos $$B=1$$ y $$C=3$$, obtenemos el siguiente cuadrado mágico:

$$\boxed{\begin{matrix}{A+1}&{A-4}&{A+3}\\{A+2}&{A}&{A-2}\\{A-3}&{A+4}&{A-1}\end{matrix}}$$

Si el problema nos pidiera ahora resolver un cuadrado mágico de sumas, cuyo número central es 15; aplicando el resultado anterior obtenemos:

$$\boxed{\begin{matrix}{15+1}&{15-4}&{15+3}\\{15+2}&{15}&{15-2}\\{15-3}&{15+4}&{15-1}\end{matrix}}$$

$$\boxed{\begin{matrix}{16}&{11}&{18}\\{17}&{15}&{13}\\{12}&{19}&{14}\end{matrix}}$$

Como vemos se cumple que cualquier fila, columna o diagonal es $$3A=3\cdot{15}=45$$

SOLUCIÓN:

Esta es la solución presentada:

Sea el siguiente cuadrado mágico multiplicativo:

$$\boxed{\begin{matrix}{A}&{B}&{C}\\{D}&{E}&{F}\\{G}&{H}&{I}\end{matrix}}$$

Evidentemente: $$ABC=DEF=GHI=ADG=BEH=CFI=AEI=CEG$$. Tomemos todos los productos que contengan al número central $$E$$:

$$DEF=BEH=AEI=CEG$$, entonces $$DF=BH=AI=CG$$

Además $$(DEF)(BEH)=(ABC)(GHI)$$, $$DFBHE^2=ABCGHI$$. Simplificando obtenemos: $$DFE^2=ACGI$$

Pero hemos visto que $$AI=DF$$, por lo que sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior obtenemos que $$E^2=CG$$, es decir el cuadrado del número central es igual al producto de los dos números extremos de una de las diagonales.

El producto de la diagonal anterior será: $$CEG=E\cdot{E^2}=E^3$$. Luego el producto de todas las filas, columnas o diagonales valdrá $$E^3$$.

En nuestro caso $$E=15$$. Luego el producto buscado es $$E^3=15^3=3375$$. Por lo que $$CG=\frac{3375}{15}=225=DF=BH=AI$$.

Los números enteros positivos buscados estarán entre los factores positivos de 225. Factorizando 225 obtenemos $$F(225)=\left\{{1,3,5,9,15,25,45,75,225}\right\}$$. Evidentemente el número 15 no lo podemos volver a usar, luego nos quedan los 8 números restantes, que son los que buscamos $$\left\{{1,3,5,9,25,45,75,225}\right\}$$.

Para colocar estos números debemos tener en cuenta que el producto de dos números simétricos respecto al centro debe ser 225, luego tendremos los pares $$\left\{{1,225}\right\};\left\{{3,75}\right\};\left\{{5,45}\right\};\left\{{9,25}\right\}$$. Una vez obtenidos los números y sus simétricos, existen varias formas de colocarlos. Veamos los 8 cuadrados mágicos de productos posibles:

Cuadrado 1: 

$$\boxed{\begin{matrix}{3}&{225}&{5}\\{25}&{15}&{9}\\{45}&{1}&{75}\end{matrix}}$$

Por rotación sucesivas de 90º obtenemos los Cuadrados 2, 3 y 4:

$$\boxed{\begin{matrix}{5}&{9}&{75}\\{225}&{15}&{1}\\{3}&{25}&{45}\end{matrix}}$$$$\boxed{\begin{matrix}{75}&{1}&{45}\\{9}&{15}&{25}\\{5}&{225}&{3}\end{matrix}}$$$$\boxed{\begin{matrix}{45}&{25}&{3}\\{1}&{15}&{225}\\{75}&{9}&{5}\end{matrix}}$$

Ahora partiendo del Cuadrado 1, hacemos una reflexión, con sólo intercambiar las columnas 1 y 3. Obtendremos así el Cuadrado Mágico 5:

$$\boxed{\begin{matrix}{5}&{225}&{3}\\{9}&{15}&{25}\\{75}&{1}&{45}\end{matrix}}$$

Por rotación sucesivas de 90º obtenemos los Cuadrados 6, 7 y 8:

$$\boxed{\begin{matrix}{3}&{25}&{45}\\{225}&{15}&{1}\\{5}&{9}&{75}\end{matrix}}$$$$\boxed{\begin{matrix}{45}&{1}&{75}\\{25}&{15}&{9}\\{3}&{225}&{5}\end{matrix}}$$$$\boxed{\begin{matrix}{75}&{9}&{5}\\{1}&{15}&{225}\\{45}&{25}&{3}\end{matrix}}$$

Por supuesto podríamos haber resuelto el problema simplemente usando una de las fórmulas de cuadrados multiplicativos de Internet:

$$\boxed{\begin{matrix}{a}&{a^2\cdot{b^2}}&{b}\\{b^2}&{a\cdot{b}}&{a^2}\\{a^2\cdot{b}}&{1}&{a\cdot{b^2}}\end{matrix}}$$

Solución de "El País": Solucionado.

Publicado por Gogely the Great