tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post1802635257874277932..comments2022-04-03T19:26:23.583+02:00Comments on Matemáticas: UN RELOJ DE DOS COLORESUnknownnoreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-80182205040612572102011-04-12T18:25:47.561+02:002011-04-12T18:25:47.561+02:00Una variante simplificada de la de rovber:
Partam...Una variante simplificada de la de rovber:<br /><br />Partamos de un reloj coloreado cualquiera. Fijémonos en las 6 primeras horas. Podría ocurrir que el número de coloreadas de azul fuera 3 (y por lo tanto, las otras 3 lo estarían de rojo). Entonces ya tendríamos resuelto el problema.<br /><br />Consideremos pues el caso en el que hay menos de un color que del otro. Codifiquemos el primero como 1 y el segundo como 0. Sumando los códigos el resultado es menor que 3.<br /><br />Vamos a movernos once veces un lugar hacia la derecha a partir de la situación inicial, es decir, iremos tomando:<br /><br />1, 2, ..., 6,<br />2, 3, ..., 7,<br />3, 4, ..., 8,<br />...<br />6,7, ..., 12,<br />7, 8, ..., 12, 1,<br />...<br />11, 12, 1, 2, ..., 4,<br />12, 1, 2, ..., 5.<br /><br />Cada vez que nos movemos un lugar a la derecha observamos que, como mucho, la suma de los códigos (colores) puede aumentar en una unidad, es decir, en ningún caso la suma podrá pasar (“de golpe”) a ser 4. Y si en algún momento ésta pasa a valer 3 ya tendríamos resuelto el problema.<br /><br />SUPONGAMOS pues que la suma permanece siempre por debajo de 3. Así, la suma total de las 12 configuraciones valdría como mucho 12*2=24.<br /><br />Pero, si nos damos cuenta, al tomar todas las configuraciones, estamos considerando seis veces cada hora y, como sabemos que hay seis unos por ahí repartidos, la suma total ha de ser 6*6=36.<br /><br />Nuestra SUPOSICIÓN es ABSURDA. Luego la suma, en algún momento, ha de valer 3.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-48020622651954105402011-04-12T15:45:53.815+02:002011-04-12T15:45:53.815+02:00Muy interesante tu aportación rovber, muchas graci...Muy interesante tu aportación <i>rovber</i>, muchas gracias.<br /><br />Para aquellos que vean como se hace con el <b>Teorema de Borsuk-Ulam</b>:<br /><br /><a href="http://gaussianos.com/problemas-de-matematicas-de-el-pais-problema-n%C2%BA-4/2" rel="nofollow">Gaussianos</a>Gogely The Greathttps://www.blogger.com/profile/11799381257784635625noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-7325198549269128862011-04-12T00:51:48.611+02:002011-04-12T00:51:48.611+02:00Hola, la solución que he encontrado me parece bast...Hola, la solución que he encontrado me parece bastante simple y apenas utiliza 'recursos matématicos'<br /><br /><br />Podemos partir de una divisón cualquiera, por ejemplo:<br /><br />G1={1,2,3,4,5,6} y G1'={7,8,9,10,11,12}<br /><br />Podemos ir haciendo 'rotaciones' obteniendo otras divisiones:<br /><br />G2={2,3,4,5,6,7} y G2'={8,9,10,11,12,1}<br /><br />G3={3,4,5,6,7,8} y G3'={9,10,11,12,1,2}<br /><br />...<br /><br />Hasta llegar a:<br /><br />G7={7,8,9,10,11,12} y G7'={1,2,3,4,5,6}<br /><br />Observando que precisamente es la inversa de la inicial: G7=G1' y G7'=G1<br /><br />La clave del problema está en observar dos cosas:<br /><br />1- En G1 y G7 la coloración es la contraria.<br />2- Entre un grupo y el siguiente como muchó varía un color.<br /><br />La 1 es trivial. Por ejemplo, si G1 tiene 5 rojos y 1 azul, entonces G7=G1' tiene que tener 1 rojo y 5 azules.<br /><br />La 2 se verifica facilmente viendo que entre un grupo Gn y el siguiente Gn+1, lo único que se hace es intercambiar dos elementos.<br />Por tanto, se pueden dar estos tres casos: 1- La coloración queda igual, 2- Aumenta un rojo a costa de un azul o 3- Aumenta un azul a costa de un rojo.<br /><br />Teniendo esto en cuenta:<br /><br />Si en G1 tuviésemos ya 3 rojos y 3 azul, tendríamos la solución.<br /><br />Si en G1 tuviésemos otra configuración (por ejemplo 4 rojos y 2 azules),entonces en G7 tendríamos la inversa (2 rojos y 4 azules).<br />Con lo que para ir desde G1 hasta G7 tiene que haber por narices un estado donde tengamos 3 rojos y 3 azules, ya que para ir desde G1 con 2 rojos hasta G7 con 4 rojos, aumentando como mucho una unidad cada paso, debemos pasar por uno con 3 rojos.<br /><br /><br /><br /><br /><br />Un saludo.rovberhttps://www.blogger.com/profile/12355525186800494720noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2584584857027044072.post-29786257846176090092011-04-11T17:38:36.565+02:002011-04-11T17:38:36.565+02:00Como pista indicar que esta condición también se c...Como pista indicar que esta condición también se cumple para cualquier reloj con una cantidad de números múltiplos de 4. Por ejemplo si lo hiciéramos con un reloj con 60 números (uno para cada segundo), pintásemos como lo pintásemos siempre habría una división que dejaría ambas mitades con el mismo número de elementos de cada color.<br /><br />Como curiosidad: Hay muchos trucos de magia con cartas que se basan en esto. Si cogemos una baraja francesa de, por ejemplo, 52 cartas. La barajamos todo lo que queramos. Sabemos que existe una manera de cortar el mazo que va a dejar la baraja 'equilibrada'. En ambas mitades tendremos el mismo número de cartas rojas y negras.rovberhttps://www.blogger.com/profile/12355525186800494720noreply@blogger.com