Raíz de una Función


En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraicof (x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:
f(x) = 0 \,.
Por ejemplo, dada la función:
f(x) = x^2 - 6x + 8 \,
Planteando y resolviendo la ecuación:
0 = x^2 - 6x + 8 \,
Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Contenido

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Buscando raíces

  • Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función.
  • El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas.
  • Una función trascendente como por ejemplo \sin(x)\, posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier x_n = n\pi,\ n\in\mathbb{Z} es raíz de esa función. En cambio la función ezno se anula nunca sobre los números complejos.
  • El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación.
  • Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

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Raíces simples y múltiples

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:
f(x) = (x-r)f_1(x)\,
Entonces se dice que:
  • La raíz es simple si f_1(r)\ne 0\,
  • La raíz es multiple si f_1(r)= 0\,, en este último caso la raíz se dice de orden n, siendo n > 1, cuando se puede escribir:
f(x) = (x-r)^nf_n(x),\quad \mbox{con}\ f_n(r)\ne 0\,

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Métodos para buscar raíces

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Teoremas sobre raíces

Dada una función real o compleja el número de raíces es siempre numerable, puediendo ser cero, número finito o un número infinito numerable.
  • El teorema fundamental del álgebra afirma que cualquier polinomio de grado n sobre \scriptstyle \mathbb{C} tiene a lo sumo n raíces diferentes, y si se cuenta la multiplicidad de cada raíz entonces puede afirmarse que existen exactamente n raíces.
  • La función f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} dada por f(z) = ez no tienen ninguna raíz ya que no se anula nunca.
  • Las funciones reales sin(x) y cos(x) tienen un número infinito numerable de raíces.

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